Bài 3. Phương trình mặt cầu

Bài 3 trong SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc tìm hiểu phương trình mặt cầu, một trong những khái niệm quan trọng trong hình học không gian. Để hiểu rõ về phương trình mặt cầu, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:

• Định nghĩa mặt cầu: Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (tâm của mặt cầu) một khoảng cách không đổi (bán kính của mặt cầu).
• Phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu có dạng (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R², trong đó (a, b, c) là tọa độ tâm của mặt cầu và R là bán kính của mặt cầu.

I. Các dạng bài tập thường gặp

Trong bài 3, các em sẽ gặp các dạng bài tập sau:

1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Cho phương trình mặt cầu, hãy xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu.
2. Viết phương trình mặt cầu: Cho tâm và bán kính của mặt cầu, hãy viết phương trình của mặt cầu.
3. Kiểm tra một điểm thuộc mặt cầu: Cho phương trình mặt cầu và một điểm, hãy kiểm tra xem điểm đó có thuộc mặt cầu hay không.
4. Tìm giao điểm của mặt cầu và đường thẳng: Tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu và đường thẳng trong không gian.

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về phương trình mặt cầu, các em có thể áp dụng các phương pháp sau:

• Sử dụng định nghĩa mặt cầu: Áp dụng định nghĩa mặt cầu để xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
• Biến đổi phương trình: Biến đổi phương trình mặt cầu về dạng chuẩn (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² để xác định tâm và bán kính.
• Giải hệ phương trình: Giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu và đường thẳng.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 4.

Giải: Từ phương trình mặt cầu, ta có:

• Tâm của mặt cầu là I(1, -2, 3).
• Bán kính của mặt cầu là R = √4 = 2.

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0, 0, 0) và bán kính R = 5.

Giải: Phương trình mặt cầu có dạng (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R², với (a, b, c) là tọa độ tâm và R là bán kính.

Thay (a, b, c) = (0, 0, 0) và R = 5 vào phương trình, ta được:

(x - 0)² + (y - 0)² + (z - 0)² = 5²

x² + y² + z² = 25

IV. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, các em nên luyện tập thêm các bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ bản chất của các khái niệm và áp dụng linh hoạt các phương pháp giải bài tập.

Giaibaitoan.com hy vọng rằng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về phương trình mặt cầu trong kỳ thi sắp tới.