Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc nhị diện - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Bài học này thuộc chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian, SBT Toán Tập 2.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp các lời giải bài tập toán 11 chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán khó.
Trong không gian, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng. Để hiểu rõ hơn về các khái niệm này, chúng ta cần nắm vững các định nghĩa và tính chất sau:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).
Lời giải:
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 90 độ.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo đường thẳng d. Trên (P) có điểm A, trên (Q) có điểm B. Tính góc nhị diện của hai mặt phẳng (P) và (Q) nếu AB = a và khoảng cách từ A đến (Q) bằng h.
Lời giải:
Để tính góc nhị diện, ta cần tìm hình chiếu của A lên (Q), gọi là A'. Khi đó, góc nhị diện là góc giữa hai đường thẳng AB và A'B. Ta có A'B = √(AB² - AA'²) = √(a² - h²). Góc nhị diện α thỏa mãn cos α = AA' / AB = h / a. Do đó, α = arccos(h/a).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a√3. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
Lời giải:
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SA vuông góc với BC. Do đó, tam giác SAB là tam giác vuông tại A. Ta có SB = √(SA² + AB²) = √(3a² + a²) = 2a. Gọi H là hình chiếu của S lên BC. Khi đó, SH là đường cao của tam giác SBC. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là góc giữa SB và BH. Ta có BH = a/2. Suy ra SH = √(SB² - BH²) = √(4a² - a²/4) = √(15a²/4) = (a√15)/2. Vậy, sin(góc giữa SB và (ABC)) = SH/SB = ((a√15)/2) / (2a) = √15/4. Do đó, góc giữa SB và (ABC) = arcsin(√15/4).
Bài 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc nhị diện là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về hình học không gian và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
