bài tập tự luận chuyên đề vectơ – trần đình thiên

Tài liệu ôn tập chuyên sâu: Vectơ, Tích vô hướng và Ứng dụng

Đây là tài liệu tổng hợp, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, phân loại các dạng bài tập và cung cấp các bài toán tự luận điển hình liên quan đến vectơ, tích vô hướng của hai vectơ và các ứng dụng của chúng trong hình học phẳng. Tài liệu được chia thành hai chương chính, bao gồm các vấn đề cốt lõi cần nắm vững để giải quyết các bài toán liên quan.

Chương 1: Vectơ

Chương này tập trung vào các khái niệm cơ bản về vectơ, các phép toán và ứng dụng của vectơ trong chứng minh các đẳng thức hình học và giải quyết các bài toán liên quan đến điểm và đường thẳng.

1. Khái niệm vectơ: Giới thiệu về định nghĩa vectơ, các yếu tố của vectơ (điểm gốc, điểm cuối, độ dài, hướng), và các loại vectơ đặc biệt (vectơ không, vectơ đơn vị, vectơ đối).
2. Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ:
   • Sử dụng quy tắc ba điểm để phân tích vectơ thành tổng của các vectơ khác.
   • Áp dụng các hệ thức thường dùng như hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm của tam giác.
   • Khai thác tính chất của các hình đặc biệt (hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi,...) để chứng minh đẳng thức vectơ.
3. Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ:
   • Biến đổi đẳng thức vectơ về dạng vt OM = vt a, trong đó O và vt a đã được xác định.
   • Sử dụng các tính chất về điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số, hình bình hành, trung điểm của đoạn thẳng.
4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau:
   • Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng bằng cách chứng minh vt AB = giaibaitoan.com AC với k ≠ 0.
   • Chứng minh hai điểm M, N trùng nhau bằng cách chứng minh vt OM = vt ON hoặc vt MN = vt 0.
5. Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ:
   • Biến đổi đẳng thức vectơ để đưa về các tập hợp điểm cơ bản:
     • Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
     • Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi là đường tròn có tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi.
6. II. Toạ độ
   • Toạ độ trên trục
   • Toạ độ trên hệ trục

Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ

Chương này trình bày về định nghĩa tích vô hướng, các tính chất và ứng dụng của tích vô hướng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và xác định các yếu tố của tam giác.

1. Tính tích vô hướng của hai vectơ: Nắm vững công thức tính tích vô hướng và các tính chất của tích vô hướng.
2. Chứng minh một đẳng thức vectơ có liên quan đến tích vô hướng hay đẳng thức các độ dài:
   • Sử dụng các phép toán về vectơ và các tính chất của tích vô hướng.
   • Lưu ý rằng AB² = vt AB².
3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) và C(x₃; y₃) xác định hình dạng của tam giác ABC: Sử dụng tích vô hướng để xác định góc giữa các cạnh và suy ra loại tam giác (nhọn, vuông, tù).
4. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) và C(x₃; y₃) xác định trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: Áp dụng các công thức tính tọa độ trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp.
5. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) và C(x₃; y₃) xác định tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC: Sử dụng tính chất đường phân giác và công thức tính tọa độ tâm đường tròn nội tiếp.
6. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) và C(x₃; y₃), gọi A’ là chân đường vuông góc kẻ từ A lên BC. Tìm A’: Sử dụng tích vô hướng để tìm tọa độ điểm A’.
7. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) và C(x₃; y₃), tính cosA: Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ.

Đánh giá và nhận xét:

Tài liệu này cung cấp một cái nhìn tổng quan và hệ thống về các kiến thức cơ bản liên quan đến vectơ và tích vô hướng. Việc phân loại các dạng bài tập giúp người học dễ dàng tiếp cận và luyện tập. Tuy nhiên, để nắm vững kiến thức, cần kết hợp việc đọc tài liệu với việc tự giải các bài tập và tham khảo thêm các nguồn tài liệu khác. Tài liệu sẽ đặc biệt hữu ích cho học sinh THPT trong quá trình ôn tập và chuẩn bị cho các kỳ thi.