các bài toán chứng minh đẳng thức hình học

Trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, việc chứng minh các đẳng thức hình học như hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc tỉ lệ là một yêu cầu phổ biến. Dạng toán này, dù không quá phức tạp, đòi hỏi sự nhanh nhạy trong việc nhận diện và lựa chọn phương pháp phù hợp để đảm bảo tính chính xác và tiết kiệm thời gian làm bài. Bài viết này sẽ hệ thống hóa các phương pháp chứng minh đẳng thức hình học thường gặp, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Việc luyện tập thường xuyên với các bài toán hình học đa dạng là chìa khóa để nâng cao khả năng giải quyết vấn đề và xây dựng tư duy logic, sáng tạo.

PHẦN 1. LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU

1. Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau. Đây là phương pháp cơ bản và thường được sử dụng nhất. Việc chứng minh hai tam giác bằng nhau theo các trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c), cạnh - góc - cạnh (c-g-c), góc - cạnh - góc (g-c-g), góc - góc - cạnh (g-g-c) sẽ dẫn đến sự bằng nhau của các cạnh tương ứng.
2. Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt.
• Hai cạnh bên của tam giác cân bằng nhau. Trong tam giác đều, ba cạnh bằng nhau.
• Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt:
  • Hình thang cân: Hai cạnh bên bằng nhau.
  • Hình bình hành: Hai cạnh đối song song và bằng nhau.
  • Hình chữ nhật: Hai cạnh đối song song và bằng nhau, các đường chéo bằng nhau.
  • Hình vuông: Bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
  • Hình thoi: Bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo vuông góc với nhau.
3. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt.
• Đường trung tuyến của tam giác vuông xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền.
• Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh thứ ba.
• Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
• Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng bằng nhau.
• Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng.
• Hình chiếu của hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai đường xiên bằng nhau.
4. Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn.
• Hai dây cung cách đều tâm của đường tròn thì bằng nhau.
• Hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm nằm ngoài đường tròn đến các tiếp điểm thì bằng nhau.
• Mối quan hệ giữa cung và dây cung: Trong một đường tròn, hai cung bằng nhau thì hai dây cung tương ứng bằng nhau, và ngược lại.
5. Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian.
• Tính chất bắc cầu: Nếu AB = CD và CD = EF thì AB = EF.
• Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
• Hai đường thẳng song song cách đều nhau.
• Sử dụng tính chất của các đẳng thức và hai phân số bằng nhau.
• Sử dụng kiến thức về diện tích để chứng minh sự bằng nhau của các đoạn thẳng.
• Sử dụng bình phương của chúng bằng nhau (có thể áp dụng định lý Pitago, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn để đưa về dạng bình phương).

B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng.
2. Tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.
3. Đường trung bình của tam giác.
4. Định lý Talet và hệ quả của định lý Talet.
5. Tính chất đường phân giác của tam giác.
6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác.
7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.

PHẦN 2. BÀI TẬP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG