đề hsg toán 10 lần 14 năm 2023 hội các trường thpt chuyên dh&đb bắc bộ

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 10 lần thứ 14 (XIV) năm 2023, trong khuôn khổ Hội các trường THPT chuyên vùng Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 15 tháng 7 năm 2023, và hiện tại, đề thi đã được công bố kèm theo đáp án và hướng dẫn chấm điểm chi tiết.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về hình học và đại số, cùng với khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải quyết vấn đề. Các bài toán được xây dựng một cách sáng tạo, có tính phân loại cao, giúp đánh giá năng lực học sinh một cách toàn diện.

Nội dung chi tiết đề thi:

1. Bài toán 1 (Hình học): Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O. AD là đường phân giác trong của góc BAC (D thuộc BC). Gọi E, F lần lượt là điểm chính giữa cung CA chứa B và cung AB chứa C của đường tròn O. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt AB tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF cắt AC tại N.
   • a) Chứng minh rằng bốn điểm B, M, N, C cùng nằm trên một đường tròn.
   • b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Gọi AP, AQ lần lượt là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN và ACM. Chứng minh rằng các đường thẳng BQ, CP, AI đồng quy.
   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đường tròn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, cùng với định lý Ceva và Menelaus. Yêu cầu học sinh phải có tư duy hình học không gian tốt và khả năng liên kết các yếu tố hình học một cách hợp lý.
2. Bài toán 2 (Đại số): Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên dương a, b, c sao cho 2027ⁿ = a^bc^b, với b, ac là các số nguyên dương, thì n là số chẵn. Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về số nguyên tố, phân tích thừa số nguyên tố, và các tính chất của lũy thừa. Việc chứng minh n là số chẵn đòi hỏi sự phân tích sâu sắc về cấu trúc của 2027ⁿ và a^bc^b.
3. Bài toán 3 (Đại số): Một số nguyên dương m được gọi là “tốt” nếu tồn tại các số nguyên dương a, b, c, d sao cho m = abcd và m | (a² + b² + c² + d²).
   • a) Chứng minh rằng số nguyên dương m là “tốt” khi và chỉ khi tồn tại hai số nguyên dương x, y sao cho xy = m và m | (x² + y² + 1).
   • b) Tìm số “tốt” lớn nhất.
   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về số học và đại số, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích và suy luận logic. Việc chứng minh điều kiện tương đương và tìm số “tốt” lớn nhất đòi hỏi sự sáng tạo và kỹ năng giải quyết vấn đề.

Tài liệu tham khảo:

Để hỗ trợ quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình ôn tập và luyện thi, giaibaitoan.com cung cấp file WORD của đề thi và đáp án. Quý thầy cô có thể tải xuống tại:

File WORD: TẢI XUỐNG

giaibaitoan.com hy vọng rằng đề thi này sẽ là tài liệu hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong việc nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán.