đề thi olympic môn toán năm 2023 trường thpt chuyên khtn – hà nội

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi Olympic môn Toán năm 2023 của trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, thành phố Hà Nội. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết nội dung đề thi, đồng thời đưa ra một số nhận xét và phân tích chuyên sâu về cấu trúc và độ khó của từng câu hỏi.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Câu 1 (Số học): Cho dãy số (a_n) thỏa mãn a₁ = 7 và a_n+1 = a_n(3a_n − 22n + 1) với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a₂₀₂₃ thì p − 1 chia hết cho 3.
   Nhận xét: Đây là một bài toán số học khá thú vị, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về lý thuyết số, đặc biệt là các tính chất của số nguyên tố và đồng dư thức. Việc tìm ra mối liên hệ giữa ước nguyên tố của a₂₀₂₃ và điều kiện chia hết cho 3 là một thách thức không nhỏ.
2. Câu 2 (Hình học): Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) với phân giác trong AD (D nằm trên cạnh BC). M là trung điểm BC. AM cắt lại (O) tại N. J là trung điểm cung BC chứa A của (O). Trên (O) lấy các điểm S và T sao cho JS ⊥ AB và JT ⊥ AC.
   a) Chứng minh rằng đường thẳng ST đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADN.
   b) Lấy P thuộc (O) sao cho NP = AJ. Gọi giao điểm của PB và PC lần lượt với JS và JT là Q và R. Chứng minh rằng Q, R, D thẳng hàng.
   Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn, tam giác, và các tính chất liên quan đến trung điểm, phân giác, và cung tròn. Việc sử dụng các tính chất đối xứng và các định lý hình học cơ bản là rất quan trọng để giải quyết bài toán này. Ý b của câu hỏi có độ khó cao hơn, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng suy luận logic và kết hợp các kiến thức đã học một cách linh hoạt.
3. Câu 3 (Hình học): Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với BC < AD. Gọi ω là đường tròn tâm C đi qua B. Giả sử là một tiếp tuyến của ω sao cho vuông góc với BD đồng thời cắt tia đối tia AB tại E. F thuộc đường thẳng CD sao cho EF ∥ AD. P là hình chiếu vuông góc của F trên M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM tiếp xúc với ω.
   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phức tạp, kết hợp nhiều yếu tố khác nhau như hình thang, đường tròn, tiếp tuyến, và hình chiếu vuông góc. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần phải có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích các mối quan hệ giữa các yếu tố hình học, và sử dụng các công cụ hình học một cách hiệu quả. Việc chứng minh sự tiếp xúc giữa đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM và đường tròn ω là một thách thức lớn, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy sáng tạo và kỹ năng chứng minh tốt.

Đánh giá chung:

Đề thi Olympic Toán năm 2023 trường THPT chuyên KHTN – Hà Nội có cấu trúc khá cân đối, bao gồm các câu hỏi về số học và hình học. Các câu hỏi đều có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt, và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi này là một cơ hội tốt để các em học sinh rèn luyện và nâng cao trình độ toán học của mình.

Lời khuyên:

Để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi Olympic Toán, các em học sinh cần phải thường xuyên ôn tập kiến thức, luyện tập các bài tập khó, và tham gia các câu lạc bộ Toán học để trao đổi kinh nghiệm và học hỏi lẫn nhau. Ngoài ra, việc đọc và phân tích các đề thi Olympic Toán các năm trước cũng là một cách hiệu quả để làm quen với cấu trúc và độ khó của đề thi.