phương pháp giải nhanh trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số

## Giải Pháp Tối Ưu Cho Bài Toán Trắc Nghiệm Tính Đơn Điệu Của Hàm Số (Giải Tích 12) Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết và chuyên sâu về phương pháp giải nhanh các bài tập trắc nghiệm liên quan đến tính đơn điệu của hàm số trong chương trình Giải tích 12. Chúng ta sẽ phân tích các kỹ năng cần thiết, các phương pháp tiếp cận khác nhau, và những lưu ý quan trọng để đạt hiệu quả cao nhất. **I. Tổng Quan Về Phương Pháp Giải** Để giải quyết bài toán trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số một cách nhanh chóng và chính xác, cần nắm vững các bước sau: 1. **Xác Định Tập Xác Định (TXĐ):** Đây là bước đầu tiên và quan trọng nhất. Hàm số chỉ có thể xét tính đơn điệu trên tập xác định của nó. 2. **Tính Đạo Hàm (y'):** Đạo hàm của hàm số là công cụ then chốt để xác định tính đơn điệu. 3. **Xét Dấu Đạo Hàm:** * **Phương pháp 1 (Tự luận):** Giải bất phương trình y' > 0 (đồng biến) hoặc y' < 0 (nghịch biến). * **Phương pháp 2 (Lựa chọn đáp án bằng phép thử):** Sử dụng các tính chất của hàm số và đạo hàm để loại trừ các đáp án không phù hợp. 4. **Kết Luận:** Dựa vào dấu của đạo hàm, kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng xác định. **II. Phân Tích Chi Tiết Các Bài Tập Ví Dụ** **Bài tập 1:** Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên \(R\)? A. \(y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} – 3x.\) B. \(y = x\sqrt {{x^2} + 1} .\) C. \(y = x – \frac{1}{x}.\) D. \(y = – \cot x.\) **Chọn B.** **Phân tích:** * **Cách tiếp cận:** Bài toán yêu cầu tìm hàm số đồng biến trên toàn bộ tập số thực \(R\). * **Lời giải tự luận:** * Hàm số A: \(y’ = 4x\left( {{x^2} + 1} \right) – 3 = 4{x^3} + 4x – 3\). Vì \(y'(0) = -3 < 0\), hàm số không đồng biến trên \(R\). * Hàm số B: \(y’ = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0\), \(\forall x \in R\). Vậy hàm số đồng biến trên \(R\). * **Lời giải bằng phép thử:** * Loại C và D vì không xác định trên \(R\). * Hàm số A là bậc bốn, đạo hàm là bậc ba, luôn có ít nhất một nghiệm, không thể luôn dương. * Do đó, chọn B. **Bài tập 2:** Hàm số nào sau đây là hàm số nghịch biến trên \(R\)? A. \(y = – {x^3} + 2{x^2} – x + 3.\) B. \(y = – {x^4} + 2{x^2} + 1.\) C. \(y = \cos 2x – 2x + 3.\) D. \(y = \sqrt {1 – {x^2}} .\) **Chọn C.** **Phân tích:** * **Cách tiếp cận:** Tìm hàm số nghịch biến trên toàn bộ tập số thực \(R\). * **Lời giải tự luận:** * Hàm số C: \(y’ = – 2\sin 2x – 2 = – 2(\sin 2x + 1) \le 0\), \(\forall x \in R\). Vậy hàm số nghịch biến trên \(R\). * **Lời giải bằng phép thử:** * Loại D vì TXĐ là \([ – 1;1]\). * Hàm số A và B có đạo hàm là đa thức bậc ba và bậc hai, không thể luôn âm trên \(R\). **Bài tập 3:** Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1\) đồng biến trên các khoảng: A. \(( – \infty ;1)\) và \([3; + \infty ).\) B. \(( – \infty ;1]\) và \([3; + \infty ).\) C. \(( – \infty ;1]\) và \((3; + \infty ).\) D. \(( – \infty ;1)\) và \((3; + \infty ).\) **Chọn B.** **Phân tích:** * **Cách tiếp cận:** Tìm các khoảng mà trên đó đạo hàm của hàm số lớn hơn hoặc bằng 0. * **Lời giải tự luận:** \(y’ = {x^2} – 4x + 3 = (x-1)(x-3)\). \(y’ \ge 0\) khi \(x \le 1\) hoặc \(x \ge 3\). **III. Các Kỹ Năng Nâng Cao và Lưu Ý Quan Trọng** * **Nắm vững các đạo hàm cơ bản:** Điều này giúp tiết kiệm thời gian tính đạo hàm. * **Sử dụng bảng biến thiên:** Bảng biến thiên là công cụ trực quan giúp xác định tính đơn điệu của hàm số. * **Kỹ năng xét dấu:** Xét dấu đạo hàm một cách chính xác là yếu tố then chốt để đưa ra kết luận đúng. * **Lựa chọn đáp án bằng phép thử:** Đây là kỹ năng quan trọng để giải nhanh các bài toán trắc nghiệm. Cần nắm vững các tính chất của các loại hàm số khác nhau (đa thức, phân thức, lượng giác,...) để loại trừ các đáp án không phù hợp. * **Chú ý đến tập xác định:** Hàm số chỉ có thể xét tính đơn điệu trên tập xác định của nó. * **Đọc kỹ đề bài:** Xác định rõ yêu cầu của đề bài (đồng biến trên \(R\), nghịch biến trên một khoảng,...) để tránh sai sót. **IV. Kết Luận** Việc nắm vững các kiến thức và kỹ năng trên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài tập trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số một cách nhanh chóng và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao khả năng và đạt kết quả tốt nhất trong các kỳ thi.