Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

I. Lý thuyết cơ bản

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Một vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của nó song song với đường thẳng đó. Nếu a là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì mọi vectơ cùng phương với a cũng là vectơ chỉ phương của d.

2. Điểm thuộc đường thẳng

Một điểm M được gọi là thuộc đường thẳng d nếu M nằm trên d.

3. Các dạng phương trình của đường thẳng trong không gian

• Phương trình tham số:d: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct, với M₀(x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc d và a(a, b, c) là một vectơ chỉ phương của d.
• Phương trình chính tắc:d: (x - x₀) / a = (y - y₀) / b = (z - z₀) / c, với M₀(x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc d và a(a, b, c) là một vectơ chỉ phương của d.

II. Bài tập SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 15.1

Cho điểm A(1; 2; 3) và vectơ u = (2; -1; 1). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u.

Giải:

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương u = (2; -1; 1) là:

• x = 1 + 2t
• y = 2 - t
• z = 3 + t

Bài 15.2

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 4; 5).

Giải:

Vectơ AB = (3 - 1; 4 - 2; 5 - 3) = (2; 2; 2). Chọn vectơ chỉ phương a = (1; 1; 1).

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương a = (1; 1; 1) là:

(x - 1) / 1 = (y - 2) / 1 = (z - 3) / 1

Bài 15.3

... (Tiếp tục giải các bài tập còn lại trong SGK)

III. Các dạng bài tập thường gặp

1. Xác định phương trình đường thẳng khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương.

2. Xác định phương trình đường thẳng khi biết hai điểm.

3. Xác định phương trình đường thẳng khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng.

4. Bài tập liên quan đến vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để giải quyết các bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian. Chúc bạn học tốt!