Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong chương trình Toán 12, việc hiểu rõ các khái niệm về thống kê và đo lường mức độ phân tán của dữ liệu là vô cùng quan trọng. Bài 2 trong SGK Toán 12 tập 1 tập trung vào hai khái niệm then chốt: phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

1. Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Mẫu số liệu ghép nhóm là một tập hợp các quan sát được chia thành các khoảng hoặc lớp. Mỗi khoảng sẽ có một tần số tương ứng, cho biết số lượng quan sát thuộc về khoảng đó. Ví dụ, một bảng tần số có thể biểu diễn điểm thi của học sinh trong một lớp, với các khoảng điểm như 0-5, 5-10, 10-15,...

2. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai (ký hiệu là s²) là một số đo mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng. Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

s² = Σ[(x_i - x̄)² * f_i] / (n - 1)

Trong đó:

• x_i là trung điểm của khoảng thứ i
• x̄ là trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm
• f_i là tần số của khoảng thứ i
• n là tổng số quan sát

3. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn (ký hiệu là s) là căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn cũng là một số đo mức độ phân tán của dữ liệu, nhưng nó có đơn vị giống với dữ liệu gốc, do đó dễ dàng diễn giải hơn. Công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

s = √s²

4. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có bảng tần số sau:

Để tính phương sai và độ lệch chuẩn, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính trung điểm của mỗi khoảng: x₁ = 2.5, x₂ = 7.5, x₃ = 12.5
2. Tính trung bình cộng: x̄ = (2.5 * 10 + 7.5 * 15 + 12.5 * 20) / (10 + 15 + 20) = 8.75
3. Tính phương sai: s² = [(2.5 - 8.75)² * 10 + (7.5 - 8.75)² * 15 + (12.5 - 8.75)² * 20] / (35 - 1) = 24.375
4. Tính độ lệch chuẩn: s = √24.375 ≈ 4.937

5. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn giúp chúng ta đánh giá mức độ đồng đều của dữ liệu. Nếu phương sai và độ lệch chuẩn nhỏ, dữ liệu tập trung gần giá trị trung bình, cho thấy tính đồng đều cao. Ngược lại, nếu phương sai và độ lệch chuẩn lớn, dữ liệu phân tán rộng, cho thấy tính đồng đều thấp.

6. Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

• Thống kê học: Đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu, so sánh các tập dữ liệu khác nhau.
• Tài chính: Đo lường rủi ro của các khoản đầu tư.
• Khoa học: Phân tích kết quả thí nghiệm, đánh giá độ tin cậy của các phép đo.
• Kỹ thuật: Kiểm soát chất lượng sản phẩm, đánh giá độ ổn định của hệ thống.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào thực tế.