bài toán tương giao hàm phân thức hữu tỉ chứa tham số

Phương pháp tìm điều kiện tham số liên quan đến bài toán tương giao của hàm phân thức hữu tỉ

Bài viết này trình bày phương pháp giải toán tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt đồ thị hàm phân thức hữu tỉ tại hai điểm phân biệt, một nội dung quan trọng trong chương trình Giải tích 12, đặc biệt khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

I. Phương pháp giải toán

Xét hàm số có dạng: \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) (với điều kiện \(ad – bc \ne 0\)).

Xét đường thẳng \(d: y = mx + n\).

Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng, ta giải phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{{ax + b}}{{cx + d}} = mx + n\) (với điều kiện \(x \ne – \frac{d}{c}\)).

Biến đổi phương trình, ta được: \(ax + b = (cx + d)(mx + n) \Leftrightarrow g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0\) (1).

Đồ thị hàm số và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác \( – \frac{d}{c}\). Điều này tương đương với hệ điều kiện:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_1} \ne 0}\\
{\Delta > 0}\\
{g\left( { – \frac{d}{c}} \right) > 0}
\end{array}} \right..\)

Nhận xét:

• Nếu \(A\), \(B\) là giao điểm của hai đồ thị thì \(A\left( {{x_1};m{x_1} + n} \right)\) và \(B\left( {{x_2};m{x_2} + n} \right)\), với \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).
• Nếu hai giao điểm \(A\), \(B\) thuộc hai nhánh của đồ thị thì \({x_A} < – \frac{d}{c} < {x_B}\).
• Nếu hai giao điểm \(A\), \(B\) cùng thuộc một nhánh của đồ thị hàm số thì \({x_A}\), \({x_B} > – \frac{d}{c}\) hoặc \({x_A}\), \({x_B} < – \frac{d}{c}\).

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x – 2}}{{x – 1}}\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) sao cho:

a) Hai điểm \(A\), \(B\) thuộc về cùng một nhánh của đồ thị hàm số.

b) Độ dài đoạn thẳng \(AB = 2\sqrt 3\).

c) Diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(4\sqrt 3\) với \(O\) là gốc tọa độ.

Giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{x – 2}}{{x – 1}} = x + m\) (điều kiện \(x \ne 1\)).

Biến đổi, ta được: \(x – 2 = (x + m)(x – 1) \Leftrightarrow {x^2} + (m – 2)x + 2 – m = 0\) (1).

Để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt, phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {{(m – 2)}^2} – 4(2 – m) > 0}\\
{{1^2} + m – 2 + 2 – m \ne 0}
\end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = {m^2} – 4 > 0}\\
{1 \ne 0}
\end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 2}\\
{m < – 2}
\end{array}} \right..\)

Gọi \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Theo định lý Vi-et, ta có:

\(\left\{\begin{array}{l}
{x_{1}+x_{2}=2-m} \\
{x_{1} x_{2}=2-m}
\end{array}\right.\)

a) Để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị hàm số \(\Leftrightarrow (1)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} > 1\), \({x_2} > 1\) hoặc \({x_1} < 1\), \({x_2} < 1\) \(\Leftrightarrow \left( {{x_1} – 1} \right)\left( {{x_2} – 1} \right) > 0\) \(\Leftrightarrow {x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0\).

\(\Leftrightarrow (2 – m) – (2 – m) + 1 > 0\) \(\Leftrightarrow 1 > 0\) (luôn đúng).

Vậy với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 2}\\
{m < – 2}
\end{array}} \right.\) thì đường thẳng \(d\) luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị hàm số.

b) ... (tiếp tục giải các phần còn lại của ví dụ)

III. Bài tập trắc nghiệm

(Các bài tập trắc nghiệm được trình bày đầy đủ như trong nội dung gốc)

IV. Bài tập tự luyện

(Các bài tập tự luyện được trình bày đầy đủ như trong nội dung gốc)

V. Đáp án bài tập tự luyện

(Các đáp án bài tập tự luyện được trình bày đầy đủ như trong nội dung gốc)