các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao – nguyễn minh tuấn

Chuyên đề về nguyên hàm và tích phân đóng vai trò then chốt trong việc nâng cao kỹ năng giải toán cho học sinh khá giỏi, đặc biệt trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán. Việc nắm vững các phương pháp giải quyết các bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao không chỉ giúp học sinh đạt điểm số tốt mà còn rèn luyện tư duy toán học một cách toàn diện.

Chuyên đề do tác giả Nguyễn Minh Tuấn biên soạn tập trung vào việc hướng dẫn giải các bài toán nguyên hàm – tích phân khó, bao gồm 15 chủ đề chính, được trình bày một cách hệ thống và chi tiết:

1. Tích phân truy hồi: Phương pháp này thường được sử dụng để giải các tích phân phức tạp bằng cách thiết lập công thức truy hồi.
2. Nguyên hàm – tích phân hàm phân thức hữu tỷ: Dạng toán cơ bản nhưng có nhiều biến thể nâng cao, đòi hỏi kỹ năng phân tích và biến đổi đa thức.
3. Nguyên hàm – tích phân hàm lượng giác: Yêu cầu nắm vững các công thức biến đổi lượng giác như hạ bậc, tích thành tổng, và sử dụng góc phụ.
4. Đưa biểu thức vào trong dấu vi phân: Kỹ thuật này đòi hỏi sự khéo léo trong việc biến đổi và tính đạo hàm.
5. Tích phân liên kết: Phương pháp hữu ích khi gặp các tích phân không thể tính trực tiếp, thường áp dụng cho tích phân lượng giác hoặc hàm phân thức.
6. Kỹ thuật lượng giác hóa: Sử dụng khi biểu thức dưới dấu căn thức có dạng đặc biệt, khó tính toán thông thường.
7. Nguyên hàm – tích phân từng phần: Kỹ thuật cơ bản nhưng hiệu quả, chuyên đề tập trung vào các bài toán nâng cao.
8. Đánh giá hàm số để tính tích phân: Sử dụng bất đẳng thức để so sánh và đánh giá các biểu thức, chia tích phân cần tính thành các phần nhỏ hơn.
9. Kỹ thuật thế biến – lấy tích phân 2 vế: Áp dụng cho các bài toán có giả thiết dạng tổng của hai hàm số, tận dụng mối liên hệ giữa chúng để thay thế biểu thức.
10. Tích phân hàm cho bởi 2 công thức: Giải quyết các tích phân của hàm được định nghĩa bởi hai công thức khác nhau.
11. Tích phân hàm ẩn: Phát hiện và đặt ẩn số phù hợp để đưa bài toán về dạng chuẩn.
12. Tích phân đổi cận – đổi biến: Dạng toán thường xuất hiện trong các đề thi thử và đề thi THPT Quốc gia.
13. Tích phân có cận thay đổi: Giải quyết các bài toán tích phân với cận là hàm số của biến x.
14. Bài toán liên quan tới f’(x) và f(x): Dạng toán đã xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia 2018 và nhiều đề thi thử của các trường chuyên.
15. Bất đẳng thức tích phân: Giới thiệu các bất đẳng thức liên quan đến tích phân, đặc biệt là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, tuy nhiên cần lưu ý tính chất tham khảo của phần này.

Ngoài ra, chuyên đề còn đề cập đến một số kỹ thuật nâng cao như phân tích bình phương, cân bằng hệ số, và ứng dụng bất đẳng thức AM-GM trong giải quyết các bài toán phức tạp.

Đánh giá: Chuyên đề này cung cấp một hệ thống kiến thức toàn diện và chi tiết về các phương pháp giải bài toán nguyên hàm – tích phân khó. Việc phân loại các dạng bài tập và đưa ra các ví dụ minh họa giúp học sinh dễ dàng tiếp thu và áp dụng vào thực tế. Tuy nhiên, phần bất đẳng thức tích phân có tính chất tham khảo cao, học sinh nên tập trung vào các phương pháp giải quyết bài toán cơ bản và nâng cao hơn.