các bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn

Tài liệu ôn tập và luyện thi: Nguyên lý cực hạn trong toán số học và tổ hợp (Trích từ "Phân dạng và phương pháp giải toán số học và tổ hợp" của Nguyễn Quốc Bảo)

Tài liệu này, bao gồm 20 trang trích từ cuốn sách "Phân dạng và phương pháp giải toán số học và tổ hợp" của tác giả Nguyễn Quốc Bảo, là một nguồn tài liệu hữu ích dành cho học sinh THCS đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán. Tài liệu tập trung vào việc hướng dẫn sử dụng nguyên lý cực hạn – một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán thuộc lĩnh vực số học và tổ hợp.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Nguyên lý cực hạn: Bản chất và ứng dụng

Nguyên lý cực hạn, được trình bày trong tài liệu, bao gồm hai mệnh đề cơ bản:

1. Nguyên lý 1: Trong một tập hợp hữu hạn và khác rỗng các số thực, luôn tồn tại một phần tử nhỏ nhất và một phần tử lớn nhất.
2. Nguyên lý 2: Trong một tập hợp khác rỗng các số tự nhiên, luôn tồn tại một phần tử nhỏ nhất.

Điểm quan trọng được nhấn mạnh là nguyên lý này không chỉ giới hạn ở việc tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của một tập số đơn thuần. Nó còn được ứng dụng rộng rãi để xác định các đại lượng cực trị trong các bài toán hình học và tổ hợp, ví dụ:

• Xác định đoạn thẳng dài nhất/ngắn nhất trong một tập hữu hạn các đoạn thẳng.
• Tìm góc lớn nhất/nhỏ nhất trong một tập hữu hạn các góc.
• Xác định đa giác có diện tích/chu vi lớn nhất/nhỏ nhất trong một tập hữu hạn các đa giác.
• Tìm khoảng cách lớn nhất/nhỏ nhất giữa các điểm hoặc từ một điểm đến một đường thẳng.
• Xác định các điểm cực trái/cực phải trên một đoạn thẳng.

Tài liệu đặc biệt lưu ý về sự kết hợp hiệu quả của nguyên lý cực hạn với phương pháp phản chứng, đặc biệt khi làm việc với các tập hợp hữu hạn hoặc các tập hợp vô hạn nhưng có phần tử cực trị.

2. Quy trình áp dụng nguyên lý cực hạn

Tài liệu trình bày rõ ràng ba bước cơ bản để áp dụng nguyên lý cực hạn trong giải toán:

1. Bước 1: Chứng minh sự tồn tại giá trị cực trị. Chứng minh rằng trong tập hợp các giá trị đang xét, chắc chắn tồn tại một giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
2. Bước 2: Xét trường hợp đặc biệt. Giả sử giá trị đang xét đạt giá trị cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) và phân tích các hệ quả của giả thiết này.
3. Bước 3: Tìm mâu thuẫn. Chỉ ra rằng giả thiết về giá trị cực trị dẫn đến một mâu thuẫn logic, hoặc tồn tại một giá trị khác nhỏ hơn (nếu đang xét giá trị nhỏ nhất) hoặc lớn hơn (nếu đang xét giá trị lớn nhất) so với giá trị đang khảo sát.

Việc tìm ra mâu thuẫn ở bước 3 là then chốt, và dựa trên nguyên lý phản chứng, ta có thể kết luận về tính đúng đắn của bài toán.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Phần này chứa các bài tập thực hành để học sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng nguyên lý cực hạn.

C. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

Cung cấp lời giải chi tiết và đáp án cho các bài tập vận dụng, giúp học sinh tự kiểm tra và củng cố kiến thức.

Đánh giá và nhận xét:

Tài liệu này cung cấp một hướng dẫn súc tích và dễ hiểu về nguyên lý cực hạn. Việc trình bày các bước áp dụng nguyên lý một cách rõ ràng, cùng với các ví dụ minh họa, giúp học sinh nắm bắt phương pháp này một cách hiệu quả. Sự kết hợp với phương pháp phản chứng được nhấn mạnh, cho thấy tầm quan trọng của việc tư duy logic và phản biện trong quá trình giải toán. Tuy nhiên, để tài liệu trở nên hoàn thiện hơn, cần bổ sung thêm nhiều bài tập vận dụng với độ khó đa dạng, cũng như các bài toán ứng dụng nguyên lý cực hạn vào các lĩnh vực cụ thể của số học và tổ hợp.