Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Trong chương trình Toán 8, kiến thức về tam giác đồng dạng đóng vai trò then chốt, đặc biệt là các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. Hiểu rõ lý thuyết này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức hình học nâng cao hơn.

1. Định nghĩa Tam giác đồng dạng

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Ký hiệu: ΔABC ~ ΔA'B'C'. Điều kiện cần và đủ để hai tam giác đồng dạng là:

∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C'
AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'

2. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông (90 độ). Có ba trường hợp đồng dạng đặc biệt áp dụng cho tam giác vuông:

2.1. Trường hợp 1: Cạnh góc vuông - Cạnh góc vuông (c.g.v - c.g.v)

Nếu hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ thì hai tam giác đó đồng dạng.

Ví dụ: ΔABC vuông tại A và ΔA'B'C' vuông tại A' có AB/A'B' = AC/A'C' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.

2.2. Trường hợp 2: Cạnh góc vuông - Góc nhọn (c.g.v - g.nhọn)

Nếu hai tam giác vuông có một cạnh góc vuông và một góc nhọn tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Ví dụ: ΔABC vuông tại A và ΔA'B'C' vuông tại A' có AB = A'B' và ∠B = ∠B' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.

2.3. Trường hợp 3: Góc nhọn - Góc nhọn (g.nhọn - g.nhọn)

Nếu hai tam giác vuông có hai góc nhọn tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Ví dụ: ΔABC vuông tại A và ΔA'B'C' vuông tại A' có ∠B = ∠B' và ∠C = ∠C' thì ΔABC ~ ΔA'B'C'.

3. Ứng dụng của các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến:

Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông khi biết một số cạnh và góc.
Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng.
Giải các bài toán thực tế liên quan đến hình học.

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Lấy D trên BC sao cho BD = 1cm. Chứng minh ΔABD ~ ΔCBA.

Hướng dẫn:

Tính BC theo định lý Pitago: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm
Xét ΔABD và ΔCBA, ta có:

∠B chung
AB/BC = 3/5 = BD/BA = 1/3 (sai, cần sửa lại)
AB/BC = 3/5 và BD/AB = 1/3 => AB/BC ≠ BD/AB

Sửa lại: Xét ΔABD và ΔCBA, ta có:

∠B chung
∠BAD = ∠BCA (vì cùng phụ với ∠ABD)

Vậy ΔABD ~ ΔCBA (g.g)

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh ΔABH ~ ΔCBA.

Hướng dẫn:

∠ABH = ∠CBA (chung)
∠AHB = ∠BAC = 90^o

Vậy ΔABH ~ ΔCBA (g.g)

5. Kết luận

Việc nắm vững các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông là vô cùng quan trọng trong quá trình học Toán 8. Hãy luyện tập thường xuyên để hiểu rõ và áp dụng linh hoạt các kiến thức này vào giải bài tập. Chúc bạn học tốt!