Tổ hợp là một lĩnh vực then chốt trong toán rời rạc và đồng thời là một thách thức lớn đối với học sinh THPT chuyên, đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Toán quốc tế và khu vực. Trong những năm gần đây, xu hướng đề thi VMO, Olympic 30/4 và Olympic DHBB cho thấy sự dịch chuyển từ các bài toán hình học phẳng sang các bài toán tổ hợp, khẳng định tầm quan trọng ngày càng tăng của mảng kiến thức này.
Tuy nhiên, độ khó của tổ hợp thường gây ra nhiều khó khăn cho học sinh. Các em mới tiếp cận thường gặp lúng túng trong việc nắm bắt tư tưởng và phương pháp giải quyết bài toán. Việc xây dựng một nền tảng kiến thức tổ hợp vững chắc là điều cần thiết, nhưng lại là một thách thức lớn đối với cả giáo viên và học sinh.
Điều này dẫn đến tâm lý e ngại, thiếu tự tin và có xu hướng bỏ qua các bài toán tổ hợp trong quá trình ôn thi của nhiều học sinh. Do đó, việc khơi gợi hứng thú và trang bị cho học sinh các phương pháp giải toán tổ hợp một cách hiệu quả là một nhiệm vụ quan trọng đối với giáo viên. Câu hỏi đặt ra là: cần cung cấp những kiến thức gì? Bắt đầu từ những bài toán nào? Và làm thế nào để phân loại bài tập theo mức độ khó và áp dụng các phương pháp giải phù hợp?
Bài toán đếm là một khởi đầu lý tưởng để làm quen với tư duy tổ hợp. Chúng ta bắt đầu bằng việc xác định số lượng phần tử trong một tập hợp, số cách thực hiện một công việc hoặc số lượng cấu hình thỏa mãn các quy tắc nhất định. Bài toán đếm rất đa dạng về cả hình thức và phương pháp giải, trải dài từ những bài toán đơn giản, trực quan đến những bài toán phức tạp đòi hỏi công thức toán học tinh tế.
Một số công thức được khám phá thông qua những suy luận đơn giản, trong khi những công thức khác lại là kết quả của quá trình nghiên cứu kéo dài hàng thế kỷ. Đôi khi, phương pháp giải trực tiếp trở nên bế tắc, nhưng phương pháp gián tiếp lại mang đến sự rõ ràng và đơn giản.
Chuyên đề “Một số phương pháp đếm trong các bài toán tổ hợp” được xây dựng với mục tiêu hỗ trợ giáo viên và học sinh tiếp cận một cách có hệ thống với các bài toán tổ hợp. Chuyên đề tập trung vào các phương pháp đếm thường dùng như: xây dựng mô hình, đếm bằng hai cách, đếm bằng quan hệ truy hồi, đếm bằng ánh xạ và đếm bằng số phức. Hệ thống bài tập được chọn lọc từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm các bài toán từ các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Toán quốc tế và khu vực, Olympic Toán của các nước, hy vọng sẽ giúp học sinh làm chủ các phương pháp giải và khám phá sự hấp dẫn của những bài toán tổ hợp đầy thử thách.
