Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của Tam Thức Bậc Hai - Lý Thuyết Toán 10 Chương 3

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong chương Hàm số bậc hai và đồ thị. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai không chỉ giúp giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai mà còn là nền tảng để phân tích và vẽ đồ thị hàm số bậc hai một cách chính xác.

1. Định nghĩa Tam Thức Bậc Hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các hệ số thực và a ≠ 0.

2. Nghiệm của Tam Thức Bậc Hai

Nghiệm của tam thức bậc hai là các giá trị của x sao cho f(x) = 0. Để tìm nghiệm, ta giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0. Phương pháp giải thường dùng là công thức nghiệm:

x_1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Biệt thức Δ = b² - 4ac đóng vai trò quan trọng trong việc xác định số nghiệm của phương trình:

• Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.
• Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = -b / 2a.
• Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.

3. Dấu của Tam Thức Bậc Hai

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và biệt thức Δ. Ta xét các trường hợp sau:

3.1. Trường hợp a > 0

Nếu a > 0, đồ thị hàm số bậc hai là một parabol hướng lên. Khi đó:

• Nếu Δ > 0: Tam thức bậc hai đổi dấu tại hai nghiệm x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Cụ thể:
  • f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂.
  • f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂.
• Nếu Δ = 0: Tam thức bậc hai không đổi dấu. f(x) ≥ 0 với mọi x ≠ -b/2a.
• Nếu Δ < 0: Tam thức bậc hai luôn dương. f(x) > 0 với mọi x.

3.2. Trường hợp a < 0

Nếu a < 0, đồ thị hàm số bậc hai là một parabol hướng xuống. Khi đó:

• Nếu Δ > 0: Tam thức bậc hai đổi dấu tại hai nghiệm x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Cụ thể:
  • f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂.
  • f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂.
• Nếu Δ = 0: Tam thức bậc hai không đổi dấu. f(x) ≤ 0 với mọi x ≠ -b/2a.
• Nếu Δ < 0: Tam thức bậc hai luôn âm. f(x) < 0 với mọi x.

4. Bảng Xét Dấu của Tam Thức Bậc Hai

Bảng xét dấu là một công cụ hữu ích để tóm tắt thông tin về dấu của tam thức bậc hai. Ví dụ, xét tam thức f(x) = x² - 5x + 6 với a = 1 > 0 và Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 1 > 0. Phương trình x² - 5x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 2 và x₂ = 3. Bảng xét dấu:

5. Ứng dụng của việc xét dấu tam thức bậc hai

Việc xét dấu tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt là:

• Giải bất phương trình bậc hai: Sử dụng bảng xét dấu để xác định khoảng nghiệm của bất phương trình.
• Xác định miền xác định của hàm số: Ví dụ, với hàm số y = √(ax² + bx + c), cần xác định khoảng mà ax² + bx + c ≥ 0.
• Phân tích đồ thị hàm số bậc hai: Xác định khoảng mà hàm số dương hoặc âm.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về dấu của tam thức bậc hai. Hãy luyện tập thêm với các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!