Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán Quốc gia năm học 2020-2021 do Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình tổ chức là một đề thi tự luận với cấu trúc quen thuộc, bao gồm 5 bài toán, được thực hiện trong thời gian 180 phút (3 tiếng). Đề thi được đánh giá là có độ khó tương đối cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng trình bày logic.
Dưới đây là phân tích chi tiết từng bài toán trong đề thi:
Bài toán yêu cầu tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p; q) sao cho p2 + 3pq + q2 là một số chính phương. Đây là một bài toán số học điển hình, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng kiến thức về số nguyên tố, số chính phương và các kỹ năng biến đổi đại số. Để giải quyết bài toán này, thí sinh có thể thử các trường hợp đặc biệt của p và q, hoặc tìm cách biểu diễn biểu thức đã cho dưới dạng bình phương của một số nguyên. Bài toán này có độ khó vừa phải, phù hợp để kiểm tra kiến thức cơ bản về số học.
Bài toán liên quan đến đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại T, điểm M di động trên đường tròn, tiếp tuyến tại M cắt d tại P, và đường tròn (C) tâm J đi qua M, tiếp xúc với d tại P. Điểm I đối xứng với P qua J. Bài toán yêu cầu chứng minh OI = IP và (C) tiếp xúc với một đường tròn cố định, sau đó tìm quỹ tích tâm J của (C) khi M di động trên (O). Đây là một bài toán hình học không gian khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn, tiếp tuyến, đối xứng và quỹ tích. Việc sử dụng các tính chất hình học cơ bản, kết hợp với các kỹ năng biến đổi hình học và phân tích tọa độ có thể giúp giải quyết bài toán này. Độ khó của bài toán này được đánh giá là cao.
Bài toán cho n điểm phân biệt và m đường thẳng phân biệt, yêu cầu tìm số bộ (A; a) sao cho A thuộc a. Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của k với n = 6 và m = 5, và chứng minh k ≤ 159 với n = 66 và m = 16. Đây là một bài toán tổ hợp về đếm, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về các phép đếm cơ bản, kết hợp với các kỹ năng tư duy logic và phân tích. Bài toán này có độ khó tương đối cao, đặc biệt là phần chứng minh bất đẳng thức. Để giải quyết bài toán này, thí sinh có thể sử dụng các công thức tổ hợp, hoặc tìm cách xây dựng các trường hợp đặc biệt để tìm ra giới hạn trên của k.
Nhận xét chung:
Đề thi có sự phân hóa rõ ràng giữa các bài toán, từ bài toán cơ bản về số học đến các bài toán phức tạp về hình học và tổ hợp. Đề thi đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức rộng, kỹ năng tốt và khả năng giải quyết vấn đề linh hoạt. Các bài toán hình học và tổ hợp có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có sự sáng tạo và khả năng tư duy trừu tượng. Đề thi này là một bài kiểm tra tốt để đánh giá năng lực của học sinh giỏi Toán cấp quốc gia.
