đề học sinh giỏi toán 10 năm 2023 – 2024 trường thpt yên phong 2 – bắc ninh

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán cấp trường năm học 2023 – 2024 của trường THPT Yên Phong số 2, tỉnh Bắc Ninh. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 06 tháng 01 năm 2024. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho việc ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Hình học tọa độ

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác DEF có E(−1; 0), F(3; 0). Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh DE, DF. Tìm tọa độ đỉnh D biết rằng D có tọa độ nguyên (hoành độ và tung độ là số nguyên), đồng thời hai đường trung tuyến EK, FH vuông góc với nhau.

   Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về tọa độ điểm, trung điểm, vector và điều kiện vuông góc của hai đường thẳng. Việc D có tọa độ nguyên là một yếu tố quan trọng, giúp thu hẹp phạm vi tìm kiếm và tăng tính khả thi của bài toán. Đây là một bài toán điển hình kết hợp kiến thức hình học và đại số.

2. Bài 2: Hàm số bậc hai và phương trình

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai parabol (P1) : y = f(x) = −x² + 2x, (P2) : y = g(x) = ax² + bx + c với a, b, c là các hằng số, a ≠ 0. Biết rằng (P2) đi qua ba điểm M₁(1; 5), M₂(2; 12), M₃(−1; −3).

   • a) Xác định các hệ số a, b, c.
   • b) Vẽ hai parabol (P₁), (P₂) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
   • c) Tìm m để phương trình (f(x) − m).(g(x) − m) = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt.

   Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về hàm số bậc hai, cách xác định parabol qua ba điểm, và kỹ năng giải phương trình. Phần c yêu cầu học sinh phải hiểu rõ về số nghiệm của phương trình và sử dụng các phương pháp đại số để tìm ra giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài. Việc vẽ đồ thị parabol giúp trực quan hóa bài toán và kiểm tra lại kết quả.

3. Bài 3: Vectơ và chứng minh đẳng thức vectơ

   Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P, Q sao cho BM = ¹/₄ BC, AN = ²/₃ AB, AP = ¹/₂ AM, AQ = ²/₇ AC.

   • a) Hãy biểu diễn NP theo AB và AC
   • b) Chứng minh ba điểm N, P, Q thẳng hàng.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc sử dụng các phép toán vectơ để biểu diễn các điểm và chứng minh tính đồng phẳng hoặc thẳng hàng. Việc biểu diễn NP theo AB và AC là bước quan trọng để chứng minh ba điểm N, P, Q thẳng hàng. Đây là một bài toán rèn luyện tư duy logic và kỹ năng sử dụng công cụ vectơ.

Nhìn chung, đề thi có độ khó phù hợp với học sinh giỏi Toán lớp 10, bao gồm các dạng bài tập quen thuộc nhưng đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề. Đề thi kết hợp hài hòa giữa hình học và đại số, giúp đánh giá toàn diện năng lực của học sinh.