đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia thpt 2019 môn toán (ngày thi thứ nhất)

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh nội dung đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2019 môn Toán – Ngày thi thứ nhất (VMO ngày 1). Kỳ thi được tổ chức vào Chủ Nhật, ngày 13 tháng 01 năm 2019, với cấu trúc đề thi gồm 01 trang, 04 bài toán tự luận và thời gian làm bài là 180 phút.

Đề thi VMO 2019 – Ngày 1 được đánh giá là một đề thi có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Hai bài toán được trích dẫn dưới đây thể hiện rõ điều này.

Bài 1: Hình học

Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn nội tiếp I. Trên các tia AB, AC, BC, BA, CA, CB lần lượt lấy các điểm A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ sao cho AA₁ = AA₂ = BC, BB₁ = BB₂ = CA, CC₁ = CC₂ = AB. Các cặp đường thẳng (B₁B₂, C₁C₂), (C₁C₂, A₁A₂), (A₁A₂, B₁B₂) lần lượt có các giao điểm là A’, B’, C’.

1. Chứng minh rằng diện tích tam giác A’B’C’ không vượt quá diện tích tam giác ABC.
2. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’. Các đường thẳng AJ, BJ, CJ lần lượt cắt các đường thẳng BC, CA, AB tại R, S, T tương ứng. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AST, BTR, CRS cùng đi qua một điểm K. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC không cân thì IHJK là hình bình hành.

Nhận xét và phân tích: Bài toán này mang đậm tính chất hình học biến hình và đòi hỏi thí sinh phải có khả năng xây dựng các điểm và đường thẳng phụ một cách hợp lý. Ý a) có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các phép biến đổi diện tích và đánh giá. Ý b) là một phần mở rộng phức tạp hơn, đòi hỏi sự kết hợp của nhiều định lý và tính chất hình học, đặc biệt là định lý Ceva, định lý Menelaus và các tính chất liên quan đến đường tròn. Việc chứng minh IHJK là hình bình hành đòi hỏi sự tinh tế trong việc phân tích mối quan hệ giữa các điểm và chứng minh các vectơ tương ứng cùng phương.

Bài 2: Giải tích

Cho hàm số liên tục f: R → (0;+∞) thỏa mãn lim_x→-∞ f(x) = lim_x→+∞ f(x) = 0. Chứng minh rằng f(x) đạt giá trị lớn nhất trên R. Chứng minh rằng tồn tại hai dãy (x_n), (y_n) với x_n < y_n (n = 1, 2 …) sao cho chúng hội tụ tới một giới hạn và thỏa mãn f(x_n) = f(y_n) với mọi n.

Nhận xét và phân tích: Bài toán này thuộc về lĩnh vực giải tích hàm một biến. Việc chứng minh f(x) đạt giá trị lớn nhất dựa trên tính liên tục của hàm số và giới hạn của nó khi x tiến tới vô cùng. Phần chứng minh sự tồn tại hai dãy (x_n), (y_n) thỏa mãn điều kiện đề bài đòi hỏi thí sinh phải vận dụng các kiến thức về tính liên tục, tính giới hạn và các định lý liên quan đến dãy số. Bài toán này kiểm tra khả năng suy luận logic và trình bày chặt chẽ của thí sinh.

Việc ôn luyện và làm quen với các đề thi VMO các năm trước là một phương pháp hiệu quả để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán cho các em học sinh có nguyện vọng tham gia kỳ thi này.