Phân tích Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Toán 12 THPT Đồng Nai 2018-2019: Đánh giá và Lời giải Tham khảo
giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý độc giả đề thi chọn học sinh giỏi (HSG) Toán 12 THPT năm học 2018-2019 của Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 18 tháng 01 năm 2019, dành cho học sinh khối 12 theo học chương trình chuẩn THPT. Đề thi có cấu trúc gồm 6 bài toán tự luận, với thời gian làm bài là 180 phút. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích cấu trúc đề, độ khó và cung cấp lời giải tham khảo cho một số câu hỏi tiêu biểu.
Đánh giá chung về đề thi:
Đề thi HSG Toán Đồng Nai 2018-2019 có độ khó tương đối cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về các chủ đề: Giải tích, Tổ hợp – Xác suất và Hình học giải tích (dù không xuất hiện trực tiếp trong đoạn trích). Các bài toán được xây dựng có tính phân loại cao, đòi hỏi thí sinh không chỉ nắm vững lý thuyết mà còn phải có kỹ năng biến đổi, tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề linh hoạt. Đề thi có sự cân đối giữa các chủ đề, giúp đánh giá toàn diện năng lực của học sinh.
Nội dung chi tiết và lời giải tham khảo (dựa trên đoạn trích):
Bài toán 1: Hàm số bậc ba
Cho hàm số y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx + 8, với m là tham số.
a) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên R.
Phân tích: Để hàm số đồng biến trên R, đạo hàm của hàm số phải dương hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R. Điều này dẫn đến việc tìm điều kiện để tam thức bậc hai (đạo hàm cấp 1) luôn dương.
Lời giải tham khảo: y' = 6x2 – 6(m+3)x + 18m. Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y' ≥ 0 với mọi x. Điều này tương đương với Δ ≤ 0, tức là [–6(m+3)]2 – 4(6)(18m) ≤ 0. Giải bất phương trình này, ta tìm được giá trị của m.
b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
Phân tích: Hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi tích hoành độ của chúng âm. Hoành độ của các điểm cực trị là nghiệm của phương trình y' = 0.
Lời giải tham khảo: y' = 6x2 – 6(m+3)x + 18m. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y' = 0. Điều kiện cần tìm là x1.x2 < 0. Sử dụng định lý Viète, ta có x1.x2 = 18m/6 = 3m. Vậy 3m < 0, suy ra m < 0.
c) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;0] bằng 24.
Phân tích: Bài toán yêu cầu tìm m sao cho max[-1;0] y = 24. Cần xét giá trị của hàm số tại các điểm mút của đoạn và các điểm cực trị nằm trong đoạn [-1;0].
Lời giải tham khảo: Tính y(-1) và y(0). Tìm điều kiện để y' = 0 có nghiệm thuộc [-1;0]. So sánh các giá trị để tìm m thỏa mãn.
Bài toán 2: Tổ hợp
Chứng minh rằng 3nCn3 chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương.
Phân tích: Cần chứng minh biểu thức 3nCn3 = 3n * n(n-1)(n-2)/6 chia hết cho 3. Tập trung vào việc chứng minh n(n-1)(n-2) chia hết cho 6.
Lời giải tham khảo: 3nCn3 = 3n * n(n-1)(n-2)/6. Vì n(n-1)(n-2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6. Do đó, 3nCn3 chia hết cho 3.
Bài toán 3: Xác suất
Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh A, B, C thực hiện trò chơi như sau: Mỗi bạn A, B, C chọn ngẫu nhiên một số nguyên khác 0 thuộc khoảng (-6;6) và lần lượt thế vào ba tham số của hàm số y = ax4 + bx2 + c; nếu đồ thị hàm số thu được có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành thì được nhận thưởng. Tính xác suất để ba học sinh A, B, C được nhận thưởng.
Phân tích: Bài toán này liên quan đến xác suất và điều kiện để hàm số bậc bốn có ba điểm cực trị nằm phía trên trục hoành. Cần xác định không gian mẫu và số trường hợp thuận lợi.
Lời giải tham khảo: Mỗi học sinh có 11 lựa chọn (từ -5 đến 5). Không gian mẫu có 113 phần tử. Để hàm số có ba điểm cực trị, a > 0. Để ba điểm cực trị nằm phía trên trục hoành, cần xét điều kiện của các tham số a, b, c. Tính số trường hợp a > 0 và thỏa mãn điều kiện cực trị phía trên trục hoành. Xác suất được tính bằng số trường hợp thuận lợi chia cho số phần tử của không gian mẫu.
Hy vọng bài phân tích này sẽ giúp quý độc giả hiểu rõ hơn về đề thi HSG Toán 12 THPT Đồng Nai 2018-2019 và có thêm tài liệu tham khảo để ôn luyện.
