Phân tích Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Toán 10 – Trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên (ĐHQG Hà Nội) – Lần 1, Năm học 2020-2021
Vào ngày 10 tháng 09 năm 2020, trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tổ chức thành công kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 10 năm học 2020 – 2021, lần thứ nhất. Đề thi được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, khả năng tư duy logic và sáng tạo tốt.
Thông tin chung về đề thi:
Dưới đây là nội dung chi tiết của ba bài toán được trích dẫn từ đề thi:
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). P là một điểm nằm trong tam giác sao cho PB = PC. Lấy điểm Q trên đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC và nằm trong tam giác sao cho ∠PQA + ∠OAP = 90°. Gọi M là trung điểm của BC. Điểm K thuộc cạnh BC sao cho ∠KAB = ∠MAC. Chứng minh rằng QK vuông góc QP.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phẳng khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn ngoại tiếp, tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác (trung điểm, điểm nằm trong tam giác), và các kỹ năng vẽ hình, phân tích hình học. Việc sử dụng các góc và mối quan hệ giữa chúng là chìa khóa để giải quyết bài toán này. Bài toán này đánh giá khả năng suy luận logic và tư duy không gian của thí sinh.
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tất cả các ước nguyên dương (phân biệt) của n có thể sắp xếp thành một bảng hình chữ nhật (mỗi vị trí chứa đúng một số) mà tổng các số trên mỗi hàng bằng nhau; tổng các số trên mỗi cột bằng nhau.
Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực số học, kết hợp với tư duy về ma trận và tính chất chia hết. Để giải quyết bài toán, thí sinh cần hiểu rõ về ước số của một số nguyên dương, và khả năng phân tích cấu trúc của bảng hình chữ nhật. Bài toán này đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức số học và kỹ năng tổ hợp.
Tìm tất cả các bộ ba số (x, y, p) nguyên dương, với p là số nguyên tố thỏa mãn: x2 – 3xy + p2y2 = 12y.
Nhận xét: Đây là một bài toán đại số, liên quan đến phương trình Diophantine (phương trình nghiệm nguyên). Thí sinh cần sử dụng các kỹ năng biến đổi phương trình, đánh giá và xét các trường hợp để tìm ra nghiệm. Việc sử dụng tính chất của số nguyên tố p là rất quan trọng trong quá trình giải quyết bài toán. Bài toán này đánh giá khả năng phân tích và giải quyết các bài toán đại số phức tạp.
Đánh giá chung:
Nhìn chung, đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 lần 1 năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên KHTN – Hà Nội có chất lượng tốt, thể hiện được sự phân hóa cao. Các bài toán được xây dựng có tính sáng tạo, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng linh hoạt kiến thức và kỹ năng đã học để giải quyết. Đề thi này là một cơ hội tốt để học sinh rèn luyện và nâng cao khả năng giải quyết các bài toán khó, chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi cấp cao hơn.
