đề thi học sinh giỏi môn toán 12 năm học 2017 – 2018 trường thpt đan phượng – hà nội

Phân tích Đề thi Học sinh Giỏi Toán 12 năm học 2017-2018 – THPT Đan Phượng, Hà Nội: Một cái nhìn chuyên sâu

Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12 năm học 2017-2018 của trường THPT Đan Phượng, Hà Nội là một đề thi tự luận với cấu trúc quen thuộc, bao gồm 5 bài toán. Thời gian làm bài 180 phút cho phép thí sinh có đủ thời gian để suy nghĩ và trình bày lời giải một cách chi tiết. Đề thi được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần có khả năng vận dụng linh hoạt và sáng tạo để giải quyết vấn đề. Điểm đáng chú ý là đề thi bao phủ nhiều mảng kiến thức quan trọng của chương trình Toán 12, bao gồm Giải tích, Hình học phẳng và Hình học không gian.

Dưới đây là phân tích chi tiết từng bài toán:

1. Bài 1: Tiếp tuyến và trọng tâm tam giác

Bài toán này thuộc chủ đề Giải tích, cụ thể là ứng dụng của đạo hàm để tìm tiếp tuyến của hàm số. Yêu cầu tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng cho trước. Đây là một bài toán kết hợp kiến thức về đạo hàm, phương trình đường thẳng và tọa độ trọng tâm. Để giải bài toán này, học sinh cần thành thạo các kỹ năng sau:

• Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến.
• Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M.
• Xác định tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với hai trục tọa độ.
• Tính tọa độ trọng tâm của tam giác tạo bởi tiếp tuyến và hai trục tọa độ.
• Sử dụng điều kiện trọng tâm nằm trên đường thẳng cho trước để tìm tọa độ điểm M.

Bài toán này đòi hỏi sự chính xác trong tính toán và khả năng liên kết các kiến thức khác nhau.

2. Bài 2: Số nghiệm của phương trình bậc ba

Bài toán này thuộc chủ đề Giải tích, tập trung vào việc xét số nghiệm của phương trình bậc ba. Yêu cầu tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại một điểm, tức là phương trình x³ – 3(m+1)x – 2 = 0 có một nghiệm thực. Để giải quyết bài toán này, học sinh có thể sử dụng các phương pháp sau:

• Xét hàm số f(x) = x³ – 3(m+1)x – 2 và tìm điều kiện để phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thực.
• Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và xác định các điểm cực trị.
• Phân tích điều kiện để phương trình có một nghiệm thực dựa trên vị trí tương đối của đồ thị hàm số và trục Ox.

Bài toán này kiểm tra khả năng phân tích hàm số và vận dụng các kiến thức về cực trị để giải quyết vấn đề.

3. Bài 3: Hình học phẳng – Chứng minh đẳng thức độ dài

Bài toán này thuộc chủ đề Hình học phẳng, yêu cầu chứng minh DM = DN trong một tam giác vuông ABC với D là một điểm trong tam giác và M, N là các điểm đặc biệt trên AB và đường cao AH. Bài toán này đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về:

• Các tính chất của tam giác vuông.
• Các định lý về đường cao trong tam giác vuông.
• Các phương pháp chứng minh đẳng thức độ dài trong hình học.

Lời giải có thể dựa trên việc sử dụng các tam giác đồng dạng hoặc các tính chất của đường tròn ngoại tiếp.

4. Bài 4: Hình học không gian – Quan hệ vuông góc và độ dài đoạn thẳng

Bài toán này thuộc chủ đề Hình học không gian, liên quan đến một điểm S thay đổi trong không gian và các quan hệ về góc, hình chiếu và độ dài. Bài toán yêu cầu:

• Chứng minh H thuộc đường thẳng cố định.
• Chứng minh khi SH lớn nhất thì hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc với nhau và tính độ dài SC.

Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về:

• Hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng.
• Các điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.
• Các công thức tính khoảng cách trong không gian.

Bài toán này đòi hỏi khả năng tư duy không gian và vận dụng các kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian.

Đánh giá chung:

Nhìn chung, đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2017-2018 trường THPT Đan Phượng, Hà Nội là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy, phân tích và giải quyết vấn đề của học sinh. Các bài toán trong đề thi có tính liên kết và đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức từ nhiều mảng khác nhau để tìm ra lời giải. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán.