đề thi hsg toán 12 cấp trường năm 2021 – 2022 trường chuyên nguyễn trãi – hải dương

Phân tích và Đánh giá Đề Thi HSG Toán 12 Cấp Trường Nguyễn Trãi – Hải Dương (2021-2022)

Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp trường của Trường Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương năm học 2021-2022 là một đề thi có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về hình học và đại số, cùng với khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải quyết vấn đề. Đề thi tập trung vào các chủ đề quen thuộc trong chương trình THPT nhưng được nâng cấp độ phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy sáng tạo và kỹ năng chứng minh tốt.

Cụ thể, đề thi bao gồm ba bài toán:

1. Bài toán 1: Hình học phẳng

Bài toán này xoay quanh tam giác nhọn ABC, tâm nội tiếp I, đường tròn ngoại tiếp, và một loạt các điểm đặc biệt khác như K (tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với BC), T (giao điểm của AK với đường tròn ngoại tiếp), M (trung điểm BC), N (điểm chính giữa cung BC chứa A), và P (giao điểm của NT với đường tròn ngoại tiếp BIC). Yêu cầu chứng minh hai mệnh đề:

• a) KI cắt đường tròn BIC tại điểm thứ hai X thì N, T, X thẳng hàng.
• b) PM song song với AK.

Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phẳng điển hình, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác, và các định lý về góc và đường thẳng. Việc giải quyết bài toán này đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các kiến thức hình học và kỹ năng vẽ hình, phân tích tình huống. Điểm mấu chốt để giải quyết bài toán có thể nằm ở việc sử dụng các tính chất đối xứng và các góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

1. Bài toán 2: Đại số – Số học

Bài toán này liên quan đến dãy số x_n, là nghiệm dương của phương trình x² - kx = n với số nguyên dương k cho trước. Yêu cầu chứng minh rằng 1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/x_n ≡ 1 (mod n).

Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực đại số, cụ thể là số học. Để giải quyết bài toán này, thí sinh cần nắm vững kiến thức về nghiệm của phương trình bậc hai, tính chất của đồng dư thức, và các kỹ năng biến đổi đại số. Việc tìm ra mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình và tổng nghịch đảo của chúng là chìa khóa để chứng minh mệnh đề. Bài toán này đòi hỏi sự chính xác trong tính toán và khả năng suy luận logic.

1. Bài toán 3: Tổ hợp

Bài toán này hỏi về số cách lát kín bảng 2 x 2022 bởi các viên domino 1 x 2 và 2 x 1.

Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá thú vị, liên quan đến việc đếm số cách sắp xếp các viên domino trên một bảng. Để giải quyết bài toán này, thí sinh có thể sử dụng phương pháp đệ quy hoặc tìm ra một công thức tổng quát. Bài toán này đòi hỏi sự tư duy trừu tượng và khả năng phân tích các trường hợp khác nhau. Việc tìm ra mối liên hệ giữa số cách lát kín bảng 2 x n và số Fibonacci có thể là một hướng tiếp cận hiệu quả.

Tổng kết:

Nhìn chung, đề thi HSG Toán 12 cấp trường Nguyễn Trãi – Hải Dương (2021-2022) là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy, sáng tạo và kỹ năng giải quyết vấn đề của thí sinh. Việc giải quyết thành công đề thi này đòi hỏi thí sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng và nắm vững các kiến thức trọng tâm của chương trình THPT.