đề tuyển sinh 10 môn toán (chuyên) năm 2020 – 2021 trường ptnk – tp hcm

Phân tích Đề Tuyển Sinh Lớp 10 Chuyên Toán – Trường PTNK giaibaitoan.com Năm 2020-2021

Ngày 13 tháng 7 năm 2020, Trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia giaibaitoan.com đã tổ chức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2020-2021. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt.

Cấu trúc đề thi bao gồm 05 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy, với thời gian làm bài là 120 phút. Đề thi tập trung vào các chủ đề quen thuộc trong chương trình Toán THCS, nhưng được nâng cấp độ khó và yêu cầu sự linh hoạt trong cách tiếp cận.

Dưới đây là chi tiết về từng bài toán:

1. Bài toán 1: Phương trình bậc hai

Cho hai phương trình bậc hai: x² + ax + 3 = 0 và x² + bx + 5 = 0, với a, b là các tham số.

• Câu a: Yêu cầu chứng minh rằng nếu ab ≥ 16 thì ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm. Đây là một bài toán liên quan đến điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai và bất đẳng thức. Để giải quyết, thí sinh cần sử dụng điều kiện Δ ≥ 0 và áp dụng các bất đẳng thức cơ bản.
• Câu b: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x₀. Yêu cầu tìm a, b sao cho |a| + |b| đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán này đòi hỏi thí sinh phải sử dụng kiến thức về nghiệm chung của hai phương trình bậc hai, kết hợp với kỹ năng tối ưu hóa.

Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai, điều kiện có nghiệm, nghiệm chung và kỹ năng sử dụng bất đẳng thức. Độ khó của câu b cao hơn câu a, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng biến đổi đại số tốt.

2. Bài toán 2: Phương trình Diophantine

Cho phương trình: 3x² – y² = 23ⁿ, với n là số tự nhiên.

• Câu a: Yêu cầu chứng minh rằng nếu n chẵn thì phương trình không có nghiệm nguyên (x; y). Đây là một bài toán về phương trình Diophantine, đòi hỏi thí sinh phải sử dụng kiến thức về tính đồng dư và các tính chất của số nguyên.
• Câu b: Yêu cầu chứng minh rằng nếu n lẻ thì phương trình có nghiệm nguyên (x; y). Để giải quyết, thí sinh cần tìm một nghiệm cụ thể của phương trình khi n lẻ.

Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về phương trình Diophantine, tính đồng dư và khả năng tìm nghiệm của phương trình. Đây là một bài toán khá khó, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức nâng cao và kỹ năng chứng minh tốt.

3. Bài toán 3: Số học – Ước số

Cho số tự nhiên a = 3¹³.5⁷.7²⁰.

• Câu a: Gọi A là tập hợp các số nguyên dương k sao cho k là ước của a và k chia hết cho 105. Hỏi tập A có bao nhiêu phần tử? Bài toán này yêu cầu thí sinh phải sử dụng kiến thức về ước số, phân tích số ra thừa số nguyên tố và tính số lượng ước số.
• Câu b: Giả sử B là một tập con bất kỳ của A có 9 phần tử. Chứng minh ta luôn có thể tìm được 2 phần tử của B sao cho tích của chúng là số chính phương. Đây là một bài toán về số học, đòi hỏi thí sinh phải sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý hộp) để chứng minh.

Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về ước số, phân tích số ra thừa số nguyên tố, số lượng ước số và nguyên lý Dirichlet. Câu b có độ khó cao hơn câu a, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy sáng tạo và khả năng áp dụng các định lý một cách linh hoạt.

Đánh giá chung: Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán trường PTNK giaibaitoan.com năm 2020-2021 có độ khó cao, phân loại rõ ràng thí sinh. Các bài toán đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi tập trung vào các chủ đề quan trọng trong chương trình Toán THCS, nhưng được nâng cấp độ khó và yêu cầu sự linh hoạt trong cách tiếp cận. Đây là một đề thi tốt để đánh giá năng lực của thí sinh và tuyển chọn những học sinh có tiềm năng phát triển trong lĩnh vực Toán học.