lời giải bài toán bất đẳng thức, cực trị trong đề tuyển sinh lớp 10 môn toán

Bài toán bất đẳng thức và cực trị: Thử thách lớn trong tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán

Bài toán về bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất (max), giá trị nhỏ nhất (min) từ lâu đã được xem là một trong những dạng toán khó và mang tính phân loại cao trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, đặc biệt là các trường THPT chuyên. Đây không chỉ là bài kiểm tra kiến thức về các kỹ năng biến đổi bất đẳng thức, mà còn đánh giá khả năng tư duy logic, sự sáng tạo và khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học của học sinh. Việc làm tốt dạng bài này thường là yếu tố quyết định để học sinh có thể cạnh tranh vào các lớp chuyên Toán.

Nhằm hỗ trợ học sinh lớp 9 trong quá trình ôn luyện và nâng cao kỹ năng giải quyết các bài toán bất đẳng thức và cực trị, giaibaitoan.com xin giới thiệu tài liệu “Lời giải bài toán bất đẳng thức, cực trị trong đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán” do tác giả Trịnh Bình biên soạn. Tài liệu này tập trung vào việc phân tích và giải quyết các bài toán tiêu biểu, thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của các trường chuyên trên cả nước.

Dưới đây là một số ví dụ minh họa về các bài toán được đề cập trong tài liệu:

• Bài toán 1: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = a + b + c + 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1/√(a² + b²) + 1/√(b² + c²) + 1/√(c² + a²) (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An, 2019 – 2020). Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM, kết hợp với việc phân tích điều kiện ràng buộc để tìm ra giá trị lớn nhất của biểu thức.
• Bài toán 2: Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [0;2] thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 3.
  1. Chứng minh rằng: x² + y² + z² < 6.
  2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x³ + y³ + z³ – 3xyz (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên TP. Hồ Chí Minh, 2019 – 2020).
  Nhận xét: Bài toán này kiểm tra khả năng vận dụng các bất đẳng thức liên quan đến tổng và tích của các số thực, cũng như kỹ năng chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Việc sử dụng các đánh giá phù hợp và khai thác điều kiện ràng buộc là rất quan trọng.
• Bài toán 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xy + yz + 4zx = 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x² + 16y² + 16z² (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Hòa Bình, 2019 – 2020). Nhận xét: Bài toán này thường được giải quyết bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc bất đẳng thức AM-GM một cách khéo léo, kết hợp với việc biến đổi biểu thức để đưa về dạng quen thuộc.
• Bài toán 4: Cho các số thực không âm a, b, c sao cho ab + bc + ca = 3 . Chứng minh rằng: 1/(a² + 2) + 1/(b² + 2) + 1/(c² + 2) ≤ 1 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Phú Thọ, 2009 – 2010). Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng các phương pháp như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM, hoặc phương pháp đánh giá.
• Bài toán 5: Giả sử x, y, z là những số thực thoả mãn điều kiện 0 ≤ x, y, z ≤ 2 và x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức M = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 12(1 – x)(1 – y)(1 – z) (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên KHTN – Hà Nội, 2009 – 2010). Nhận xét: Đây là một bài toán phức tạp, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích bài toán, tìm ra các đánh giá phù hợp và sử dụng các kỹ năng biến đổi đại số một cách linh hoạt để tìm ra giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức.

Tài liệu này hứa hẹn sẽ là một nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho các học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán, giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng và tự tin đối mặt với các bài toán khó.