phương pháp giải toán min – max và bất đẳng thức – đặng thành nam

Cuốn sách "Phương pháp giải bài toán Min – Max và Bất đẳng thức" của tác giả Đặng Thành Nam là một tài liệu học tập chuyên sâu, đồ sộ với 734 trang, hướng đến đối tượng học sinh, sinh viên và những người yêu thích toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực bất đẳng thức và tối ưu hóa. Đây là một nguồn tài liệu tham khảo giá trị, cung cấp một hệ thống kiến thức bài bản và đa dạng các kỹ thuật giải quyết các bài toán thuộc lĩnh vực này.

Cấu trúc cuốn sách được chia thành bốn chương chính, mỗi chương tập trung vào một nhóm phương pháp và kỹ thuật cụ thể, được trình bày một cách logic và có hệ thống. Dưới đây là đánh giá chi tiết về nội dung từng chương:

1. Chương 1: Bất đẳng thức và các kỹ thuật cơ bản

Chương này đặt nền móng cho việc học tập bằng cách giới thiệu các kỹ thuật cơ bản nhất trong chứng minh bất đẳng thức. Các chủ đề được đề cập bao gồm:

• Kỹ thuật biến đổi tương đương: Phương pháp nền tảng, giúp đơn giản hóa bài toán và tìm ra mối liên hệ giữa các biểu thức.
• Kỹ thuật minh phản chứng: Một công cụ mạnh mẽ để chứng minh một mệnh đề bằng cách giả sử mệnh đề đó sai và dẫn đến mâu thuẫn.
• Kỹ thuật quy nạp toán học: Phương pháp chứng minh các mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên.
• Kỹ thuật miền giá trị: Xác định tập hợp các giá trị mà một biểu thức có thể nhận được, từ đó suy ra bất đẳng thức.
• Kỹ thuật sử dụng nguyên lí Dirichlet: Áp dụng nguyên lí này để chứng minh sự tồn tại của một phần tử thỏa mãn một điều kiện nào đó.
• Kỹ thuật tam thức bậc hai: Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai để đánh giá và chứng minh bất đẳng thức.
• Kỹ thuật đánh giá bất đẳng thức tích phân: Sử dụng tích phân để đánh giá và chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt hữu ích với các bài toán liên quan đến hàm số.

Chương 1 cung cấp một cái nhìn tổng quan về các phương pháp cơ bản, giúp người đọc làm quen với tư duy chứng minh bất đẳng thức.

2. Chương 2: Bất đẳng thức và phương pháp tiếp cận

Chương này đi sâu vào các bất đẳng thức quan trọng và các kỹ thuật tiếp cận nâng cao hơn. Các chủ đề bao gồm:

• Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM cơ bản: Ứng dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một biểu thức.
• Kỹ thuật ghép cặp trong chứng minh đẳng thức AM-GM: Một kỹ thuật tinh tế để áp dụng bất đẳng thức AM-GM hiệu quả hơn.
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số: Một biến thể của bất đẳng thức AM-GM, thường được sử dụng trong các bài toán phức tạp.
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Một công cụ mạnh mẽ để chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến tổng và tích.
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức: Một dạng mở rộng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, áp dụng cho các bài toán phức tạp hơn.
• Kỹ thuật tham số hóa: Sử dụng tham số để biến đổi bài toán và tìm ra lời giải.
• Bất đẳng thức Holder và ứng dụng: Một bất đẳng thức quan trọng trong giải toán tối ưu hóa.
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Chebyshev: Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev để chứng minh bất đẳng thức.
• Bất đẳng thức Bernoulli và ứng dụng: Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để đánh giá và chứng minh bất đẳng thức.

Chương 2 tập trung vào việc nắm vững các bất đẳng thức quan trọng và các kỹ thuật áp dụng chúng một cách linh hoạt.

3. Chương 3: Phương trình hàm số trong giải toán bất đẳng thức và cực trị

Chương này khám phá mối liên hệ giữa phương trình hàm số và bài toán bất đẳng thức, cực trị. Các chủ đề bao gồm:

• Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu với bài toán cực trị và bất đẳng thức một biến số: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm giá trị cực trị và chứng minh bất đẳng thức.
• Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu cho bài toán cực trị và bất đẳng thức hai biến số: Mở rộng kỹ thuật trên cho bài toán hai biến số.
• Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu cho bài toán cực trị và bất đẳng thức ba biến số: Mở rộng kỹ thuật trên cho bài toán ba biến số.
• Kỹ thuật sử dụng tính thuần nhất: Áp dụng tính thuần nhất của biểu thức để đơn giản hóa bài toán.
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến: Sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến để đánh giá và chứng minh bất đẳng thức.
• Kỹ thuật khảo sát hàm nhiều biến: Sử dụng các phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị cực trị và chứng minh bất đẳng thức.
• Kỹ thuật sử dụng tính chất của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai: Áp dụng các tính chất của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để giải quyết bài toán.
• Bất đẳng thức phụ đáng chú ý và áp dụng giải đề thi tuyển sinh: Tổng hợp các bất đẳng thức phụ thường gặp và hướng dẫn áp dụng vào giải đề thi.
• Bài toán chọn lọc bất đẳng thức và cực trị ba biến: Các bài toán thực hành nâng cao về bất đẳng thức và cực trị ba biến.

Chương 3 là một chương quan trọng, kết hợp kiến thức về phương trình hàm số và bất đẳng thức để giải quyết các bài toán phức tạp.

4. Chương 4: Số phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác

Chương này giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ít phổ biến hơn nhưng vẫn rất hữu ích. Các chủ đề bao gồm:

• Kỹ thuật lượng giác hóa: Sử dụng các hàm lượng giác để biến đổi và chứng minh bất đẳng thức.
• Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Schur: Áp dụng bất đẳng thức Schur để chứng minh bất đẳng thức.
• Kỹ thuật dồn biến: Một kỹ thuật mạnh mẽ để chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt trong các bài toán đối xứng.

Chương 4 mở rộng kiến thức của người đọc về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, giúp họ có thêm công cụ để giải quyết các bài toán đa dạng.

Nhìn chung, cuốn sách "Phương pháp giải bài toán Min – Max và Bất đẳng thức" của tác giả Đặng Thành Nam là một tài liệu tham khảo toàn diện và hữu ích cho những ai muốn nâng cao kiến thức và kỹ năng trong lĩnh vực này. Với cấu trúc rõ ràng, nội dung chi tiết và các ví dụ minh họa phong phú, cuốn sách sẽ là một người bạn đồng hành đáng tin cậy trên con đường chinh phục các bài toán bất đẳng thức và tối ưu hóa.