tính xác suất của một biến cố bằng phương pháp hình học

## Phương pháp tính xác suất bằng hình học: Giải pháp cho các phép thử vô hạn kết cục Như đã đề cập trong bài viết trước, định nghĩa cổ điển về xác suất gặp hạn chế khi số kết quả của phép thử là hữu hạn và các kết quả phải đồng khả năng. Định nghĩa thống kê khắc phục hạn chế về tính đồng khả năng, nhưng vẫn yêu cầu số kết quả hữu hạn. Để vượt qua cả hai hạn chế này, đồng thời vẫn giữ giả định về tính đồng khả năng, phương pháp xác suất hình học ra đời. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết phương pháp tính xác suất bằng hình học, cùng với các dạng toán điển hình và ví dụ minh họa. **A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN** Xét một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng. Nếu có thể biểu diễn tập hợp tất cả các kết cục này bằng một miền hình học *G* (ví dụ: đoạn thẳng, miền phẳng, mặt cong, khối không gian), và các kết cục thích hợp cho biến cố *A* bằng một miền con *g* nằm trong *G*, thì xác suất của biến cố *A* được tính như sau: \(P(A) = \frac{{\text{kích thước miền g}}}{{\text{kích thước miền G}}}\) Trong đó, "kích thước" của miền được hiểu là độ dài (nếu *G* là đoạn thẳng), diện tích (nếu *G* là miền phẳng), hoặc thể tích (nếu *G* là khối không gian). **B. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH** **Dạng toán 1: Bài toán tính xác suất tỉ số độ dài** * **Phương pháp giải toán:** * Xác định tập hợp kết cục đồng khả năng là một miền có độ dài *G*. * Xác định tập hợp kết cục thuận lợi cho biến cố *A* là một miền có độ dài *g* nằm trong *G*. * Tính \(P(A) = \frac{{\text{độ dài miền g}}}{{\text{độ dài miền G}}}\). * **Ví dụ 1:** Đường dây điện thoại ngầm nối hai trạm *A* và *B* dài 800 mét bị đứt. Tính xác suất để chỗ đứt cách *A* không quá 100 mét. Giải: * Tập hợp kết cục đồng khả năng là đoạn thẳng *AB* có độ dài 800 mét. * Tập hợp kết cục thuận lợi là đoạn *AC* có độ dài 100 mét (với *C* là điểm cách *A* 100 mét). * Xác suất: \(P = \frac{100}{800} = \frac{1}{8}\). * **Ví dụ 2:** Trên một vòng tròn bán kính *R*, chọn ngẫu nhiên một điểm. Tính xác suất để điểm này cách *A* (một điểm cố định trên vòng tròn) không quá *R*. Giải: * Tập hợp kết cục đồng khả năng là toàn bộ vòng tròn. * Tập hợp kết cục thuận lợi là cung tròn có độ dài bằng 1/3 chu vi vòng tròn. * Xác suất: \(P(A) = \frac{1}{3}\). **Dạng toán 2: Bài toán xác suất tỉ số diện tích** * **Phương pháp giải toán:** * Xác định tập hợp kết cục đồng khả năng là một miền có diện tích *G*. * Xác định tập hợp kết cục thuận lợi cho biến cố *A* là một miền có diện tích *g* nằm trong *G*. * Tính \(P(A) = \frac{{\text{diện tích miền g}}}{{\text{diện tích miền G}}} = \frac{S_g}{S_G}\). * **Ví dụ 3:** Trên đoạn thẳng *OA* ta chọn ngẫu nhiên hai điểm *B* và *C* với *OB = x*, *OC = y* (*y ≥ x*). Tìm xác suất để độ dài đoạn *BC* bé hơn độ dài đoạn *OB*. Giải: * Miền biểu diễn các điểm *(x; y)* là tam giác *OMP* (xem hình minh họa trong bài gốc). * Điều kiện *BC < OB* tương đương với *y < 2x*. * Miền thuận lợi là tam giác *ONP*. * Xác suất: \(P = \frac{S_{ONP}}{S_{OMP}} = \frac{1}{2}\). * **Ví dụ 4:** Xét hình vuông *H* giới hạn bởi *0 ≤ x ≤ 1*, *0 ≤ y ≤ 1* và hai đường cong *y = x²* và *y = √x*. Lấy ngẫu nhiên một điểm *M* thuộc *H*. Tìm xác suất để *M* thuộc hình giới hạn bởi hai đường cong trên. Giải: * Diện tích hình vuông *H* là *S = 1*. * Diện tích hình giới hạn bởi hai đường cong là \(S’ = \int_0^1 (\sqrt{x} – x^2) dx = \frac{1}{3}\). * Xác suất: \(P = \frac{S’}{S} = \frac{1}{3}\). * **Ví dụ 5:** Có một đoạn thẳng chiều dài *l*. Bẻ gẫy ngẫu nhiên thành 3 đoạn. Tính xác suất để 3 đoạn đó tạo thành được một tam giác. Giải: * Miền đồng khả năng là tam giác *OAB* (xem hình minh họa trong bài gốc). * Điều kiện để tạo thành tam giác là *x < l/2*, *y > l/2*, và *y < x + l/2*. * Miền thuận lợi là tam giác *ΔIJK*. * Xác suất: \(P(A) = \frac{S_{ΔIJK}}{S_{ΔAOB}} = \frac{1}{4}\). * **Ví dụ 6:** Hai người *A* và *B* hẹn gặp nhau trong vòng 1 giờ. Người đến trước chờ quá 20 phút thì bỏ đi. Tính xác suất để họ gặp được nhau. Giải: * Miền đồng khả năng là hình vuông *OIJK* (xem hình minh họa trong bài gốc). * Điều kiện gặp nhau là *|x – y| ≤ 20*. * Xác suất: \(P = \frac{60^2 – 40^2}{60^2} = \frac{5}{9}\). * **Ví dụ 7:** Trên mặt phẳng có các đường thẳng song song cách đều nhau 2*a*. Gieo ngẫu nhiên một chiếc kim dài 2*l* (*l < a*). Tính xác suất kim cắt một đường thẳng. Giải: * Miền đồng khả năng là hình chữ nhật có cạnh *a* và *π*. * Xác suất: \(P(H) = \frac{2l}{aπ}\). **Chú ý:** Cần nắm vững kiến thức về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để biểu diễn miền nghiệm trên hệ tọa độ *Oxy*.