Bài 16. Công thức tích góc trong không gian

Bài 16 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc ứng dụng tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ trong không gian. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Hình học không gian, giúp học sinh giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến vị trí tương đối của các điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để hiểu rõ về công thức tích góc trong không gian, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

Tích vô hướng của hai vectơ: Cho hai vectơ \vec{a} = (a_1; a_2; a_3) và \vec{b} = (b_1; b_2; b_3), tích vô hướng của \vec{a} và \vec{b} được tính bằng công thức: \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Góc giữa hai vectơ: Góc \theta giữa hai vectơ \vec{a} và \vec{b} được tính bằng công thức: cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||}, trong đó ||\vec{a}|| và ||\vec{b}|| là độ dài của vectơ \vec{a} và \vec{b}.

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập liên quan đến công thức tích góc trong không gian, chúng ta thường thực hiện các bước sau:

Xác định các vectơ cần tính góc: Đọc kỹ đề bài để xác định các vectơ cần tính góc giữa chúng.
Tính tích vô hướng của hai vectơ: Sử dụng công thức tích vô hướng để tính tích vô hướng của hai vectơ đã xác định.
Tính độ dài của hai vectơ: Sử dụng công thức tính độ dài của vectơ để tính độ dài của hai vectơ.
Tính góc giữa hai vectơ: Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ để tính góc \theta.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ \vec{a} = (1; 2; -1) và \vec{b} = (2; -1; 3). Tính góc giữa hai vectơ này.

Giải:

\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (-1)(3) = 2 - 2 - 3 = -3
||\vec{a}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}
||\vec{b}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{14}
cos(\theta) = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-3}{\sqrt{84}} = \frac{-3}{2\sqrt{21}}
\theta = arccos(\frac{-3}{2\sqrt{21}})

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về công thức tích góc trong không gian, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho hai vectơ \vec{u} = (3; -1; 2) và \vec{v} = (-1; 4; 1). Tính góc giữa hai vectơ này.
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(1; 2; 3), B(2; 1; 0), C(0; -1; 1). Tính góc BAC.
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 3, AD = 4, AA' = 5. Tính góc giữa hai vectơ \vec{AB} và \vec{AD}.

V. Kết luận

Bài 16 đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và phương pháp giải các bài tập liên quan đến công thức tích góc trong không gian. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài toán Hình học không gian trong kỳ thi sắp tới. Chúc các em học tập tốt!