Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong đại số, đặc biệt là trong việc nghiên cứu hàm số bậc hai và các ứng dụng của nó. Bài 17 trong sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức tập trung vào việc xác định dấu của tam thức bậc hai, một kỹ năng cần thiết để giải quyết nhiều bài toán thực tế.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.

2. Điều kiện xác định dấu của tam thức bậc hai

Để xác định dấu của tam thức bậc hai, chúng ta cần xem xét hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

3. Các trường hợp xét dấu của tam thức bậc hai

Trường hợp 1: a > 0 và Δ < 0: Tam thức f(x) luôn dương với mọi x.
Trường hợp 2: a > 0 và Δ = 0: Tam thức f(x) dương hoặc bằng 0 với mọi x.
Trường hợp 3: a > 0 và Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu tại hai nghiệm x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Cụ thể:
- f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
- f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂
Trường hợp 4: a < 0 và Δ < 0: Tam thức f(x) luôn âm với mọi x.
Trường hợp 5: a < 0 và Δ = 0: Tam thức f(x) âm hoặc bằng 0 với mọi x.
Trường hợp 6: a < 0 và Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu tại hai nghiệm x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Cụ thể:
- f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
- f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂

4. Ví dụ minh họa

Xét tam thức f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, c = 2. Biệt thức Δ = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0. Vì a > 0 và Δ > 0, tam thức f(x) đổi dấu tại hai nghiệm x₁ = 1/2 và x₂ = 2.