Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào hai khái niệm then chốt trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp, đặc biệt trong các ứng dụng thực tế.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, đôi một loại trừ.

Phát biểu: Giả sử A là một biến cố. Gọi B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và tổng của các xác suất của chúng bằng 1 (B₁ + B₂ + ... + B_n = 1). Khi đó, xác suất của biến cố A được tính theo công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Ví dụ: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.
Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.

Ta có:

P(B₁) = 0.6
P(B₂) = 0.4
P(A|B₁) = 0.02
P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết thông tin về một biến cố khác.

Phát biểu: Giả sử A và B là hai biến cố. Khi đó, xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)

Trong đó, P(B) có thể được tính bằng công thức xác suất toàn phần.

Ví dụ: Tiếp tục ví dụ trên, tính xác suất sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1 khi biết sản phẩm đó là sản phẩm lỗi.

Giải:

Gọi A là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.
Gọi B là biến cố “sản phẩm là sản phẩm lỗi”.

Ta cần tính P(A|B).

Ta đã tính được P(B) = 0.024. Ta cũng có:

P(B|A) = 0.02
P(A) = 0.6

Áp dụng công thức Bayes:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B) = (0.02 * 0.6) / 0.024 = 0.012 / 0.024 = 0.5

Vậy, xác suất sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1 khi biết sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là 50%.

3. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều:

Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

4. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, cần chú ý:

Các biến cố trong công thức xác suất toàn phần phải đôi một loại trừ và tổng xác suất của chúng phải bằng 1.
Xác định đúng các biến cố A và B trong công thức Bayes.
Tính toán chính xác các xác suất có liên quan.

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Chúc bạn học tốt!