Bài 2. Tọa độ của vecto trong không gian

Bài 2. Tọa độ của vecto trong không gian - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Trong không gian ba chiều, việc xác định tọa độ của vectơ là một kỹ năng quan trọng trong hình học vectơ. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về cách xác định tọa độ của vectơ, các phép toán trên vectơ biểu diễn bằng tọa độ, và ứng dụng của chúng trong việc giải các bài toán hình học không gian.

1. Khái niệm về tọa độ của vectơ trong không gian

Để xác định tọa độ của một vectơ trong không gian, ta cần một hệ tọa độ Descartes (Oxyz) với ba trục vuông góc nhau Ox, Oy, Oz. Một vectơ a được xác định bởi tọa độ (ax, ay, az), trong đó ax, ay, az là hình chiếu của vectơ a lên các trục Ox, Oy, Oz.

2. Các phép toán trên vectơ biểu diễn bằng tọa độ

• Phép cộng vectơ: Nếu a = (ax, ay, az) và b = (bx, by, bz) thì a + b = (ax + bx, ay + by, az + bz).
• Phép trừ vectơ: Nếu a = (ax, ay, az) và b = (bx, by, bz) thì a - b = (ax - bx, ay - by, az - bz).
• Phép nhân vectơ với một số thực: Nếu a = (ax, ay, az) và k là một số thực thì ka = (kax, kay, kaz).

3. Tích vô hướng của hai vectơ biểu diễn bằng tọa độ

Tích vô hướng của hai vectơ a = (ax, ay, az) và b = (bx, by, bz) được tính bằng công thức:

a ⋅ b = axbx + ayby + azbz

Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng, như tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ, và tính độ dài của một vectơ.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (1, 2, 3) và b = (-2, 1, 0). Tính a + b và a ⋅ b.

Giải:

• a + b = (1 - 2, 2 + 1, 3 + 0) = (-1, 3, 3)
• a ⋅ b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0

Ví dụ 2: Tìm tọa độ của vectơ AB, biết A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6).

Giải:

AB = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)

5. Ứng dụng của tọa độ vectơ trong không gian

Tọa độ vectơ trong không gian có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Vật lý: Mô tả lực, vận tốc, gia tốc trong không gian.
• Đồ họa máy tính: Biểu diễn các đối tượng 3D và thực hiện các phép biến đổi hình học.
• Kỹ thuật: Tính toán các thông số hình học trong các bài toán xây dựng và thiết kế.

6. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian, các em nên luyện tập thêm các bài tập trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ các khái niệm, công thức và phương pháp giải bài tập, đồng thời rèn luyện kỹ năng tính toán và tư duy logic.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về tọa độ của vectơ trong không gian. Chúc các em học tập tốt!