Bài 3. Đạo hàm cấp 2

Bài 3. Đạo hàm cấp 2 - SBT Toán 11 - Cánh diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 3 trong sách bài tập Toán 11 - Cánh diều tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm cấp hai của các hàm số. Đạo hàm cấp hai, hay đạo hàm bậc hai, là đạo hàm của đạo hàm cấp một. Nó cung cấp thông tin về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số, và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc phân tích hàm số, tìm cực trị, và giải các bài toán vật lý.

I. Lý thuyết cần nắm vững

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số lý thuyết cơ bản:

• Đạo hàm cấp một:y' = f'(x) biểu diễn tốc độ thay đổi tức thời của hàm số y = f(x).
• Đạo hàm cấp hai:y'' = f''(x) biểu diễn tốc độ thay đổi của đạo hàm cấp một.
• Công thức tính đạo hàm: Cần nắm vững các công thức tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit) và các quy tắc tính đạo hàm (quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, quy tắc chuỗi).

II. Giải bài tập SBT Toán 11 - Cánh diều Bài 3

Dưới đây là giải chi tiết các bài tập trong SBT Toán 11 - Cánh diều Bài 3:

Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

1. y = x⁴ + 3x² - 5x + 2
2. y = sin(2x)
3. y = e^xcos(x)

Giải:

• Câu a:
  1. y' = 4x³ + 6x - 5
  2. y'' = 12x² + 6
• Câu b:
  1. y' = 2cos(2x)
  2. y'' = -4sin(2x)
• Câu c:
  1. y' = e^xcos(x) - e^xsin(x)
  2. y'' = e^xcos(x) - e^xsin(x) - e^xsin(x) - e^xcos(x) = -2e^xsin(x)

Bài 2: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số:

y = x²ln(x)

Giải:

1. y' = 2xln(x) + x²(1/x) = 2xln(x) + x
2. y'' = 2ln(x) + 2x(1/x) + 1 = 2ln(x) + 3

III. Lưu ý khi tính đạo hàm cấp hai

• Luôn tính đạo hàm cấp một trước khi tính đạo hàm cấp hai.
• Sử dụng đúng các công thức và quy tắc tính đạo hàm.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

IV. Ứng dụng của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng trong việc:

• Xác định tính lồi, lõm của hàm số: Nếu y'' > 0 trên một khoảng, hàm số lồi trên khoảng đó. Nếu y'' < 0 trên một khoảng, hàm số lõm trên khoảng đó.
• Tìm điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà tại đó hàm số đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.
• Giải các bài toán vật lý: Ví dụ, trong vật lý, đạo hàm cấp hai của vị trí theo thời gian là gia tốc.

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 3. Đạo hàm cấp 2 - SBT Toán 11 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!