Bài 3. Phương trình mặt cầu

Bài 3. Phương trình mặt cầu - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 3 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nắm vững phương trình mặt cầu trong không gian. Đây là một phần quan trọng của chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ về hình học không gian và ứng dụng của nó trong giải quyết các bài toán thực tế.

1. Phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu có tâm I(a, b, c) và bán kính R được biểu diễn như sau:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Trong đó:

• (x, y, z) là tọa độ của một điểm bất kỳ trên mặt cầu.
• (a, b, c) là tọa độ của tâm mặt cầu.
• R là bán kính của mặt cầu.

2. Các dạng phương trình mặt cầu thường gặp

2.1. Phương trình chính tắc của mặt cầu

Đây là dạng phương trình cơ bản nhất, được sử dụng khi tâm mặt cầu trùng với gốc tọa độ O(0, 0, 0):

x² + y² + z² = R²

2.2. Phương trình tổng quát của mặt cầu

Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:

x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

Điều kiện để phương trình này biểu diễn một mặt cầu là:

a² + b² + c² - d > 0

Khi đó, tâm của mặt cầu là I(a, b, c) và bán kính là R = √(a² + b² + c² - d)

3. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 4

Giải:

So sánh với phương trình chính tắc, ta có:

• Tâm mặt cầu: I(1, -2, 3)
• Bán kính: R = √4 = 2

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2, -1, 0) và đi qua điểm A(1, 0, 1)

Giải:

Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến điểm A:

R = IA = √((1 - 2)² + (0 - (-1))² + (1 - 0)²) = √(1 + 1 + 1) = √3

Phương trình mặt cầu là:

(x - 2)² + (y + 1)² + z² = 3

4. Các dạng bài tập thường gặp và lời khuyên

• Xác định tâm và bán kính: Nắm vững phương trình chính tắc và tổng quát.
• Viết phương trình mặt cầu: Sử dụng công thức tính khoảng cách để tìm bán kính.
• Kiểm tra điểm thuộc mặt cầu: Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu.
• Bài toán liên quan đến giao điểm của mặt cầu và đường thẳng: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết.

Lời khuyên: Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, các em cần luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau. Hãy bắt đầu với những bài tập cơ bản và dần dần nâng cao độ khó. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn.

5. Kết luận

Bài 3. Phương trình mặt cầu - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo là một bài học quan trọng, giúp các em xây dựng nền tảng vững chắc cho việc học hình học không gian. Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, các em sẽ học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt.