Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 5 trang 60 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian \(Oxyz\) bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là \(\left( S \right):{\left( {x - 24} \right)^2} + {\left( {y - 24} \right)^2} + {\left( {z - 24} \right)^2} = 100\) (đơn vị cm) và phương trình đường thẳng trục xoay là \({\rm{d}}:\frac{{x - 24}}{1} = \frac{{y - 24}}{1} = \frac{{z - 24}}{{3,25}}\). a) Tìm toạ độ giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\). b) Tính số đo góc giữa \(d\) và trục \(Oz\). Làm tròn kết quả đến hàng
Đề bài
Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian \(Oxyz\) bằng phần mềm 3D.
Biết phương trình mặt cầu là
\(\left( S \right):{\left( {x - 24} \right)^2} + {\left( {y - 24} \right)^2} + {\left( {z - 24} \right)^2} = 100\) (đơn vị cm)
và phương trình đường thẳng trục xoay là
\({\rm{d}}:\frac{{x - 24}}{1} = \frac{{y - 24}}{1} = \frac{{z - 24}}{{3,25}}\).
a) Tìm toạ độ giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\).
b) Tính số đo góc giữa \(d\) và trục \(Oz\). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Viết phương trình đường thẳng \(d\) theo tham số \(t\) rồi thay vào phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) để tìm \(t\), sau đó tìm toạ độ giao điểm.
‒ Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t\\y = 24 + t\\z = 24 + 3,25t\end{array} \right.\)
Điểm \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) nên điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(d\). Vậy điểm \(M\) có toạ độ là: \(M\left( {24 + t;24 + t;24 + 3,25t} \right)\)
Điểm \(M\) nằm trên mặt cầu nên ta có:
\({\left( {24 + t - 24} \right)^2} + {\left( {24 + t - 24} \right)^2} + {\left( {24 + 3,25t - 24} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow \frac{{201}}{{16}}{t^2} = 100 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{1600}}{{201}}\).
\( \Leftrightarrow t = \frac{{40}}{{\sqrt {201} }}\) hoặc \(t = - \frac{{40}}{{\sqrt {201} }}\).
Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là:
\(M\left( {24 + \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 + \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 + \frac{{130}}{{\sqrt {201} }}} \right)\) và \(N\left( {24 - \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 - \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 - \frac{{130}}{{\sqrt {201} }}} \right)\).
b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;3,25} \right)\).
Trục \(Oz\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Ta có: \(\cos \left( {d,Oz} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 3,25.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{3,25}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} \approx 0,917\).
Vậy \(\alpha \approx {23,5^ \circ }\).
Bài 5 trang 60 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này thường yêu cầu học sinh phân tích hàm số, tìm đạo hàm, và sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu, cực trị của hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cùng xem lại đề bài của bài 5 trang 60 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo:
(Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Ta có hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Đạo hàm bậc nhất của hàm số là:
y' = 3x^2 - 6x
Để tìm các điểm mà y' = 0, ta giải phương trình:
3x^2 - 6x = 0
⇔ 3x(x - 2) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 2
Ta xét các khoảng sau:
Dựa vào kết quả khảo sát dấu của y', ta có:
Vậy, hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 đạt cực đại tại điểm (0; 2) và đạt cực tiểu tại điểm (2; 0).
Ngoài bài 5 trang 60, sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo còn nhiều bài tập tương tự về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bạn có thể tham khảo thêm các bài tập sau:
Khi giải các bài tập về đạo hàm, bạn cần lưu ý những điều sau:
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 5 trang 60 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
