Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập phức tạp. Vì vậy, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải rõ ràng, chi tiết và dễ tiếp thu nhất.
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = 3 + frac{1}{x}); b) (y = 2 - frac{1}{{1 + x}}).
Đề bài
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\);
b) \(y = 2 - \frac{1}{{1 + x}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sơ đồ khảo sát hàm số:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
‒ Tìm đạo hàm \(y'\), xét dấu \(y'\), xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
‒ Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số
‒ Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm),…
‒ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
‒ Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết
a)
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
2. Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên:
Đạo hàm \(y' = - \frac{1}{{{x^2}}}\). Vì \(y' < 0\) với mọi \(x \ne 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
• Tiệm cận:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = + \infty \)
Vậy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3\)
Vậy \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
• Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left( { - \frac{1}{3};0} \right)\), đồ thị hàm số không có giao điểm với trục \(Oy\).
Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( {0;3} \right)\).
b) \(y = 2 - \frac{1}{{1 + x}}\)
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
2. Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên:
Đạo hàm \(y' = \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}\). Vì \(y' > 0\) với mọi \(x \ne - 1\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
• Tiệm cận:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = - \infty \)
Vậy \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2\)
Vậy \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
• Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\), số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;1} \right)\).
Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\).
Bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải toán là rất quan trọng để hoàn thành tốt bài tập này.
Bài tập 5 thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng phần của bài tập. Chúng tôi sẽ trình bày các bước giải một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các giải thích cụ thể để bạn có thể nắm bắt được kiến thức và kỹ năng cần thiết.
Để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm, ta sử dụng công thức:
f'(x0) = limh→0 (f(x0 + h) - f(x0)) / h
Trong đó:
Ví dụ, để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 tại điểm x = 2, ta thực hiện như sau:
f'(2) = limh→0 ((2 + h)2 - 22) / h = limh→0 (4 + 4h + h2 - 4) / h = limh→0 (4h + h2) / h = limh→0 (4 + h) = 4
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = x2 tại điểm x = 2 là 4.
Để tìm đạo hàm của hàm số, ta sử dụng các quy tắc tính đạo hàm sau:
Ví dụ, để tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1, ta thực hiện như sau:
f'(x) = 3 * 2x1 + 2 * 1 - 0 = 6x + 2
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1 là f'(x) = 6x + 2.
Đạo hàm được sử dụng để tìm cực trị và khoảng đơn điệu của hàm số. Cụ thể:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những giải thích cụ thể trên, bạn đã hiểu rõ hơn về cách giải bài 5 trang 31 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán nhé!
