Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân

Chương 4: Nguyên hàm và Tích phân - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chương 4 của sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào hai khái niệm cốt lõi: nguyên hàm và tích phân. Đây là những kiến thức nền tảng cho việc giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến diện tích, thể tích, và nhiều ứng dụng khác trong khoa học và kỹ thuật.

I. Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm là một quá trình ngược lại với việc tìm đạo hàm. Một hàm số có vô số nguyên hàm, khác nhau bởi một hằng số cộng. Công thức tính nguyên hàm cơ bản:

∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
∫1/x dx = ln|x| + C
∫e^x dx = e^x + C
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
∫cos(x) dx = sin(x) + C

Các tính chất của nguyên hàm cũng rất quan trọng, bao gồm tính tuyến tính và tính chất đổi dấu.

II. Tích phân

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, biểu thị diện tích có dấu giữa đồ thị của hàm số f(x) và trục hoành trên đoạn [a, b]. Tích phân được tính bằng công thức:

∫_a^b f(x) dx

Tích phân không xác định là một họ các hàm số, khác nhau bởi một hằng số cộng. Tích phân không xác định được ký hiệu là:

∫f(x) dx

III. Các phương pháp tính tích phân

Có nhiều phương pháp để tính tích phân, bao gồm:

Phương pháp đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng để phân tích mẫu số thành nhân tử và áp dụng phương pháp phân số đơn giản.

IV. Ứng dụng của tích phân

Tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

Tính diện tích: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số.
Tính thể tích: Tính thể tích của các vật thể tròn xoay.
Tính độ dài đường cong: Tính độ dài của một đường cong.
Tính công: Tính công thực hiện bởi một lực.

V. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính ∫(2x + 1) dx

Lời giải: ∫(2x + 1) dx = x² + x + C

Bài 2: Tính ∫₀¹ x² dx

Lời giải: ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3

VI. Lời khuyên khi học chương 4

Nắm vững định nghĩa và tính chất của nguyên hàm và tích phân.
Luyện tập thường xuyên các bài tập để làm quen với các phương pháp tính tích phân.
Hiểu rõ ứng dụng của tích phân trong các lĩnh vực khác nhau.
Sử dụng các tài liệu tham khảo và công cụ hỗ trợ học tập để nâng cao kiến thức.

Hy vọng rằng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ học tốt chương 4 của sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn thành công!