Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 3 trang 25 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn, đặc biệt là với những bài tập phức tạp. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải chi tiết, kèm theo các bước giải rõ ràng để giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tính: a) (intlimits_1^2 {frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} ); b) (intlimits_1^2 {frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} ); c) (intlimits_0^1 {frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} ); d) (intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {frac{{1 + {{sin }^2}x}}{{1 - {{cos }^2}x}}dx} ).
Đề bài
Tính:
a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} \);
b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} \);
c) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} \);
d) \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng các công thức:
• \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
• \(\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\).
• \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).
• \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\).
Lời giải chi tiết
a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x + 1 + \frac{1}{x} + {x^{ - 2}}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2 = \ln 2 + \frac{{16}}{3}\).
b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} + \frac{1}{x}} \right)dx} = \left. {\left( {{e^x} + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2 = {e^2} - e + \ln 2\).
c)
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{{2^{3x}} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{2^x} + 1} \right)\left( {{2^{2x}} - {2^x} + 1} \right)}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + x} \right)} \right|_0^1 = 1 + \frac{1}{{2\ln 2}}\end{array}\)
d) \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + 1} \right)dx} = \left. {\left( { - \cot x + x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} = 1 + \frac{\pi }{4}\).
Bài 3 trang 25 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các công thức và quy tắc đạo hàm đã học để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là vô cùng quan trọng, không chỉ cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho việc học tập nâng cao ở các bậc học cao hơn.
Bài 3 trang 25 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng tôi sẽ trình bày lời giải chi tiết cho từng câu hỏi. Lưu ý rằng, trước khi bắt đầu giải bài tập, bạn cần nắm vững các công thức và quy tắc đạo hàm cơ bản.
Để tính đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 2, chúng ta thực hiện các bước sau:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa, ta có:
f'(x) = 3x^2 - 4x + 5
Thay x = 2 vào f'(x), ta được:
f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 5 = 12 - 8 + 5 = 9
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 2 là 9.
Để tìm đạo hàm của hàm số y = sin(2x) + cos(x), chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và quy tắc đạo hàm của các hàm lượng giác.
Ta có:
y' = cos(2x) * 2 - sin(x) = 2cos(2x) - sin(x)
Vậy, đạo hàm của hàm số y = sin(2x) + cos(x) là y' = 2cos(2x) - sin(x).
Để giải nhanh các bài tập về đạo hàm, bạn nên:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, bạn đã hiểu rõ hơn về cách giải bài 3 trang 25 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia!
