Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 3 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc vận dụng kiến thức về tích phân để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học. Cụ thể, các em sẽ được làm quen với việc tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay và các ứng dụng khác của tích phân trong hình học.

1. Tính diện tích hình phẳng

Đây là ứng dụng cơ bản nhất của tích phân trong hình học. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b, ta sử dụng công thức:

Diện tích = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó, |f(x)| là giá trị tuyệt đối của hàm số f(x). Nếu f(x) luôn dương hoặc luôn âm trên đoạn [a, b], ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

2. Tính thể tích vật thể tròn xoay

Có hai phương pháp chính để tính thể tích vật thể tròn xoay:

• Phương pháp đĩa tròn: Sử dụng khi vật thể tròn xoay được tạo ra bằng cách quay một miền phẳng quanh trục Ox hoặc Oy. Công thức tính thể tích là:

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx (quay quanh Ox)

V = π ∫_c^d [g(y)]² dy (quay quanh Oy)

• Phương pháp vỏ trụ: Sử dụng khi vật thể tròn xoay được tạo ra bằng cách quay một miền phẳng quanh một trục khác. Công thức tính thể tích là:

V = 2π ∫_a^b x * f(x) dx (quay quanh Oy)

3. Các ứng dụng khác của tích phân trong hình học

Ngoài việc tính diện tích và thể tích, tích phân còn được ứng dụng trong nhiều bài toán hình học khác, như:

• Tính độ dài đường cong
• Tính diện tích bề mặt vật thể tròn xoay
• Tìm tọa độ trọng tâm của hình phẳng

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 2.

Lời giải:

Diện tích = ∫_-1² x² dx = [x³/3]_-1² = (8/3) - (-1/3) = 3

Bài tập 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.

Lời giải:

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = 8π

5. Mẹo giải bài tập

• Xác định đúng miền tích phân và hàm số cần tích phân.
• Lựa chọn phương pháp tích phân phù hợp (đổi biến, tích phân từng phần,...).
• Kiểm tra kết quả bằng cách vẽ đồ thị hoặc sử dụng các công cụ tính toán.

6. Kết luận

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các bài toán liên quan đến tích phân sẽ giúp các em tự tin hơn trong kỳ thi THPT Quốc gia và các ứng dụng thực tế sau này.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập đã trình bày, các em sẽ hiểu rõ hơn về ứng dụng của tích phân trong hình học. Chúc các em học tập tốt!