Giải bài 2 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 8{x^2} - 12x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;9} \right]\);

b) \(y = - 2{x^3} + 9{x^2} - 17\) trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\);

c) \(y = {x^3} - 12x + 4\) trên đoạn \(\left[ { - 6;3} \right]\);

d) \(y = 2{x^3} - {x^2} - 28x - 3\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\);

e) \(y = - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x - 17\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 8{x^2} - 12x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;9} \right]\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} - 16{\rm{x}} - 12\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6\) hoặc \(x = - \frac{2}{3}\).

\(f\left( { - 2} \right) = - 15;f\left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{{139}}{{27}};f\left( 6 \right) = - 143;f\left( 9 \right) = - 26\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;9} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{{139}}{{27}},\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;9} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right) = - 143\).

b) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = - 2{x^3} + 9{x^2} - 17\) trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = - 6{{\rm{x}}^2} + 18{\rm{x}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\).

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 17\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right]\).

c) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 12x + 4\) trên đoạn \(\left[ { - 6;3} \right]\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} - 12\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 2\).

\(f\left( { - 6} \right) = - 140;f\left( { - 2} \right) = 20;f\left( 2 \right) = - 12;f\left( 3 \right) = - 5\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 6;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 20,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 6;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 6} \right) = - 140\).

d) Xét hàm số \(y = 2{x^3} - {x^2} - 28x - 3\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 6{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 28\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{7}{3}\) (loại) hoặc \(x = - 2\).

\(f\left( { - 2} \right) = 33;f\left( 1 \right) = - 30\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 33,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - 30\).

e) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x - 17\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = - 9{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} - 5 = - 9{\left( {x - \frac{4}{9}} \right)^2} - \frac{{29}}{9} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;2} \right]\)

\(f\left( { - 1} \right) = - 5;f\left( 2 \right) = - 35\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = - 5,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 35\).