Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 9 trang 32 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}\) a) Tìm toạ độ giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. b) Với \(t\) tuỳ ý \(\left( {t \ne 0} \right)\), gọi \(M\) và \(M'\) lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là \({x_M} = {x_I} - t\) và \({x_{M'}} = {x_I} + t\). So sánh các tung độ \({y_M}\) và \({y_{M'}}\). Từ đó, suy ra rằng hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng với nhau qua \(I\).
Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}\)
a) Tìm toạ độ giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
b) Với \(t\) tuỳ ý \(\left( {t \ne 0} \right)\), gọi \(M\) và \(M'\) lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là \({x_M} = {x_I} - t\) và \({x_{M'}} = {x_I} + t\). So sánh các tung độ \({y_M}\) và \({y_{M'}}\).
Từ đó, suy ra rằng hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng với nhau qua \(I\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\) hoặc
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)
‒ Để chứng minh rằng hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng với nhau qua \(I\), ta chứng minh \(I\) là trung điểm của \(MM'\).
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}} \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}} \right) = + \infty \)
Vậy \({\rm{x}} = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}} = 1\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{x - 1}} = 3\)
Vậy đường thẳng \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy \(I\left( {1;4} \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
b) Ta có: \({x_M} = {x_I} - t = 1 - t \Rightarrow {y_M} = \frac{{x_M^2 + 2{{\rm{x}}_M} - 2}}{{{{\rm{x}}_M} - 1}} = \frac{{{{\left( {1 - t} \right)}^2} + 2\left( {1 - t} \right) - 2}}{{\left( {1 - t} \right) - 1}} = \frac{{ - {t^2} + 4t - 1}}{t}\)
\({x_{M'}} = {x_I} + t = 1 + t \Rightarrow {y_{M'}} = \frac{{x_{M'}^2 + 2{{\rm{x}}_{M'}} - 2}}{{{{\rm{x}}_{M'}} - 1}} = \frac{{{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 2\left( {1 + t} \right) - 2}}{{\left( {1 + t} \right) - 1}} = \frac{{{t^2} + 4t + 1}}{t}\)
Vì:
\(\begin{array}{l}{x_M} + {x_{M'}} = \left( {{x_I} - t} \right) + \left( {{x_I} + t} \right) = 2{x_I};\\{y_M} + {y_{M'}} = \frac{{ - {t^2} + 4t - 1}}{t} + \frac{{{t^2} + 4t + 1}}{t} = \frac{{\left( { - {t^2} + 4t - 1} \right) + \left( {{t^2} + 4t + 1} \right)}}{t} = 8 = 2{y_I}\end{array}\)
nên \(I\) là trung điểm của \(MM'\).
Vậy hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng với nhau qua \(I\).
Bài 9 trang 32 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số, đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số, và đạo hàm của hàm hợp để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản là yếu tố then chốt để hoàn thành bài tập này một cách chính xác.
Bài tập 9 thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giải bài tập 9 trang 32 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo hiệu quả, bạn có thể áp dụng các phương pháp sau:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1.
Giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa, ta có:
f'(x) = d(3x2)/dx + d(2x)/dx - d(1)/dx
f'(x) = 6x + 2 - 0
f'(x) = 6x + 2
Khi giải bài tập 9 trang 32, bạn cần lưu ý những điều sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo hoặc trên các trang web học toán online. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán khó.
Bài 9 trang 32 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp bạn rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm. Hy vọng với những hướng dẫn và ví dụ minh họa trên, bạn đã có thể giải bài tập này một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
