Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 4 trang 9 sách bài tập toán 12 chương trình Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp tối ưu nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tìm hàm số (fleft( x right)), biết rằng: a) (f'left( x right) = 2{{rm{x}}^3} - 4{rm{x}} + 1,fleft( 1 right) = 0); b) (f'left( x right) = 5cos x - sin x,fleft( {frac{pi }{2}} right) = 1).
Đề bài
Tìm hàm số \(f\left( x \right)\), biết rằng:
a) \(f'\left( x \right) = 2{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}} + 1,f\left( 1 \right) = 0\).
b) \(f'\left( x \right) = 5\cos x - \sin x,f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng biến đổi lượng giác.
‒ Sử dụng công thức:
• \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
• \(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\).
• \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\).
Lời giải chi tiết
a) \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}} + 1} \right)dx} = \frac{{{{\rm{x}}^4}}}{2} - 2{{\rm{x}}^2} + x + C\)
\(f\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{1^4}}}{2} - {2.1^2} + 1 + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}\)
Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{{{\rm{x}}^4}}}{2} - 2{{\rm{x}}^2} + x + \frac{1}{2}\).
b) \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {5\cos x - \sin x} \right)dx} = 5\sin x + \cos x + C\).
\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow 5\sin \frac{\pi }{2} + \cos \frac{\pi }{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = - 4\)
Vậy \(f\left( x \right) = 5\sin x + \cos x - 4\).
Bài 4 trang 9 sách bài tập toán 12 Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về định nghĩa giới hạn, các tính chất của giới hạn để tính toán và chứng minh các giới hạn cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng tính toán là yếu tố then chốt để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
Bài 4 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, yêu cầu học sinh:
Để giải câu a, ta cần áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số. Ta sẽ xét giới hạn của hàm số khi x tiến tới một giá trị cụ thể. Việc này đòi hỏi sự hiểu biết về các phép biến đổi đại số để đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn, từ đó dễ dàng tính toán giới hạn.
Ví dụ, nếu hàm số có dạng f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1), ta có thể phân tích tử số thành (x - 1)(x + 1) và rút gọn biểu thức thành f(x) = x + 1. Khi đó, giới hạn của f(x) khi x tiến tới 1 sẽ là 1 + 1 = 2.
Câu b thường yêu cầu học sinh chứng minh sự tồn tại của giới hạn. Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số tại điểm đó bằng nhau. Nếu điều này đúng, ta có thể kết luận rằng giới hạn của hàm số tại điểm đó tồn tại và bằng giá trị chung của hai giới hạn bên.
Câu c có thể yêu cầu học sinh vận dụng các định lý về giới hạn, chẳng hạn như định lý giới hạn của tích, thương, tổng, hiệu. Việc nắm vững các định lý này sẽ giúp ta đơn giản hóa quá trình tính toán và tránh được các sai sót không đáng có.
Giả sử chúng ta cần tính giới hạn của hàm số f(x) = (2x + 1) / (x - 3) khi x tiến tới 3. Ta thấy rằng nếu thay x = 3 trực tiếp vào hàm số, ta sẽ được một biểu thức không xác định (dạng 0/0). Do đó, ta cần thực hiện các phép biến đổi đại số để đơn giản hóa biểu thức. Trong trường hợp này, ta không thể rút gọn biểu thức, nhưng ta có thể xét giới hạn bên trái và giới hạn bên phải.
Khi x tiến tới 3 từ bên trái (x < 3), mẫu số (x - 3) sẽ là một số âm nhỏ, còn tử số (2x + 1) sẽ tiến tới 7. Do đó, giới hạn bên trái sẽ là -∞.
Khi x tiến tới 3 từ bên phải (x > 3), mẫu số (x - 3) sẽ là một số dương nhỏ, còn tử số (2x + 1) sẽ tiến tới 7. Do đó, giới hạn bên phải sẽ là +∞.
Vì giới hạn bên trái và giới hạn bên phải không bằng nhau, ta có thể kết luận rằng giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới 3 không tồn tại.
Bài 4 trang 9 sách bài tập toán 12 Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số. Bằng cách nắm vững định nghĩa, các tính chất và định lý liên quan, cùng với việc luyện tập thường xuyên, các em sẽ có thể giải quyết bài tập này một cách tự tin và hiệu quả. Chúc các em học tốt!
