Bài 1. Xác suất có điều kiện

Bài 1. Xác suất có điều kiện - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Giải pháp chi tiết

Bài 1 trong chương 6 của sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào khái niệm quan trọng: xác suất có điều kiện. Đây là một bước tiến quan trọng trong việc hiểu sâu hơn về lý thuyết xác suất và ứng dụng của nó trong thực tế.

1. Khái niệm xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra, ký hiệu là P(B|A), được định nghĩa là:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) (với P(A) > 0)

Trong đó:

P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao của A và B (tức là cả A và B đều xảy ra).
P(A) là xác suất của biến cố A.

Xác suất có điều kiện cho chúng ta biết khả năng xảy ra của biến cố B khi chúng ta đã biết chắc chắn rằng biến cố A đã xảy ra. Điều này rất hữu ích trong nhiều tình huống thực tế, ví dụ như trong y học, tài chính, và khoa học dữ liệu.

2. Các ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn về khái niệm xác suất có điều kiện, chúng ta hãy xem xét một số ví dụ:

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất màu đỏ” và B là biến cố “quả bóng thứ hai màu đỏ”. Chúng ta cần tính P(B|A).

P(A) = 5/8 (xác suất để quả bóng thứ nhất màu đỏ)

P(A ∩ B) = (5/8) * (4/7) (xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ)

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = (5/8 * 4/7) / (5/8) = 4/7

Ví dụ 2: Trong một lớp học có 10 học sinh, trong đó có 6 học sinh giỏi Toán và 4 học sinh giỏi Văn. Có 2 học sinh giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất để học sinh đó giỏi Toán, biết rằng học sinh đó giỏi Văn.

Giải:

Gọi A là biến cố “học sinh giỏi Toán” và B là biến cố “học sinh giỏi Văn”. Chúng ta cần tính P(A|B).

P(A ∩ B) = 2/10 (xác suất để học sinh giỏi cả hai môn)

P(B) = 4/10 (xác suất để học sinh giỏi Văn)

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (2/10) / (4/10) = 1/2

3. Bài tập áp dụng

Dưới đây là một số bài tập áp dụng để bạn luyện tập:

Một đồng xu được tung 2 lần. Tính xác suất để cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp, biết rằng ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.
Trong một hộp có 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen, biết rằng ít nhất một quả bóng màu đen.
Một cuộc khảo sát được thực hiện trên 100 người. Kết quả cho thấy 60 người thích uống cà phê, 50 người thích uống trà, và 30 người thích uống cả hai loại. Chọn ngẫu nhiên một người từ nhóm khảo sát. Tính xác suất để người đó thích uống trà, biết rằng người đó thích uống cà phê.