Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm cơ bản

Bài 4 trong sách Bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc củng cố và nâng cao kỹ năng khảo sát hàm số và vẽ đồ thị, một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 12. Việc nắm vững phương pháp này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho việc học tập các môn học liên quan đến toán học và các ngành khoa học kỹ thuật.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để khảo sát và vẽ đồ thị một hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
Tính đạo hàm cấp nhất: f'(x)
Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị. Sau đó, xét dấu đạo hàm cấp nhất để xác định loại cực trị (cực đại, cực tiểu).
Tính đạo hàm cấp hai: f''(x)
Tìm điểm uốn: Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm nghi ngờ là điểm uốn. Sau đó, xét dấu đạo hàm cấp hai để xác định điểm uốn.
Xác định giới hạn tại vô cùng: Tính lim_x→+∞ f(x) và lim_x→-∞ f(x) để xác định tiệm cận ngang (nếu có).
Xác định tiệm cận đứng: Tìm các giá trị x sao cho f(x) tiến tới vô cùng khi x tiến tới giá trị đó.
Lập bảng biến thiên: Tổng hợp các thông tin đã tìm được vào bảng biến thiên để theo dõi sự biến đổi của hàm số.
Vẽ đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các thông tin khác để vẽ đồ thị hàm số.

II. Ví dụ minh họa và giải bài tập

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2

Tập xác định: D = ℝ
Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
Điểm cực trị: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6
Điểm uốn: Giải phương trình 6x - 6 = 0, ta được x = 1.

Bài tập 1: Khảo sát hàm số y = x⁴ - 4x² + 3

Hướng dẫn: Thực hiện các bước tương tự như ví dụ trên để khảo sát hàm số này.

III. Mở rộng và nâng cao

Ngoài các bước cơ bản trên, trong quá trình khảo sát hàm số, chúng ta có thể sử dụng thêm các phương pháp như:

Sử dụng đạo hàm cấp cao hơn: Để xác định các điểm cực trị bậc cao hơn.
Sử dụng tính đối xứng của hàm số: Để giảm bớt công sức tính toán.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ: Như máy tính cầm tay hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.

Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau sẽ giúp học sinh nắm vững phương pháp khảo sát hàm số và vẽ đồ thị một cách hiệu quả. Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán!

Bảng tổng hợp các dạng bài tập thường gặp:

Dạng bài tập	Mục tiêu
Khảo sát hàm số bậc ba	Nắm vững phương pháp khảo sát hàm số đơn giản
Khảo sát hàm số bậc bốn	Áp dụng phương pháp khảo sát hàm số phức tạp hơn
Khảo sát hàm số phân thức	Xác định tiệm cận và các điểm gián đoạn