Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Đây là những công thức then chốt để giải quyết các bài toán xác suất có điều kiện, đặc biệt là trong các tình huống thực tế.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một sự kiện A khi biết các điều kiện khác nhau có thể xảy ra. Cụ thể, nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các sự kiện đầy đủ và xung khắc, thì xác suất của sự kiện A được tính như sau:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Trong đó:

• P(A|B_i) là xác suất có điều kiện của A khi biết B_i xảy ra.
• P(B_i) là xác suất của sự kiện B_i.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất có điều kiện của một sự kiện B khi biết sự kiện A đã xảy ra. Công thức được biểu diễn như sau:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A)

Trong đó:

• P(B|A) là xác suất có điều kiện của B khi biết A xảy ra.
• P(A|B) là xác suất có điều kiện của A khi biết B xảy ra.
• P(B) là xác suất của sự kiện B.
• P(A) là xác suất của sự kiện A.

3. Ứng dụng của công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Hai công thức này có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Y học: Chẩn đoán bệnh dựa trên kết quả xét nghiệm.
• Kỹ thuật: Đánh giá độ tin cậy của hệ thống.
• Thống kê: Phân tích dữ liệu và đưa ra dự đoán.
• Kinh tế: Dự báo thị trường và đánh giá rủi ro.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A và B. Dây chuyền A sản xuất 60% sản phẩm, dây chuyền B sản xuất 40% sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm lỗi của dây chuyền A là 2%, của dây chuyền B là 3%. Nếu một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ nhà máy bị lỗi, xác suất để sản phẩm đó được sản xuất từ dây chuyền A là bao nhiêu?

Giải:

• Gọi A là sự kiện sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền A.
• Gọi B là sự kiện sản phẩm bị lỗi.

Ta cần tính P(A|B). Áp dụng công thức Bayes:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)

Tính P(B): P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|B')P(B') = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.024

Vậy, P(A|B) = (0.02 * 0.6) / 0.024 = 0.5

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Sử dụng công thức xác suất toàn phần, ta có thể chia thành hai trường hợp:

• Trường hợp 1: Quả bóng thứ nhất đỏ và quả bóng thứ hai đỏ.
• Trường hợp 2: Quả bóng thứ nhất xanh và quả bóng thứ hai đỏ (không thể xảy ra).

Xác suất để cả hai quả bóng đều đỏ là: P(đỏ, đỏ) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo cung cấp nhiều bài tập đa dạng và phong phú để bạn rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Chúc bạn học tập tốt!