Chương 5. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Chương 5 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu các phương trình trong không gian, cụ thể là phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng và phương trình mặt cầu. Đây là một phần quan trọng của chương trình Hình học không gian, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản và các công thức liên quan.

1. Phương trình mặt phẳng

Một mặt phẳng trong không gian Oxyz có thể được xác định bởi một phương trình có dạng tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Để viết phương trình mặt phẳng, ta cần xác định một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của nó.

• Vectơ pháp tuyến: Vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.
• Phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0, với M(x₀, y₀, z₀) là điểm thuộc mặt phẳng.

2. Phương trình đường thẳng

Một đường thẳng trong không gian Oxyz có thể được biểu diễn bằng nhiều dạng phương trình khác nhau:

• Phương trình tham số: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct, với (a, b, c) là vectơ chỉ phương của đường thẳng và M(x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc đường thẳng.
• Phương trình chính tắc: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c
• Phương trình đường thẳng khi biết hai điểm: Sử dụng hai điểm để tìm vectơ chỉ phương, sau đó áp dụng phương trình tham số hoặc chính tắc.

3. Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm I(a, b, c) bán kính R có phương trình: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².

• Xác định tâm và bán kính mặt cầu: Từ phương trình mặt cầu, ta có thể suy ra tọa độ tâm và bán kính.
• Điều kiện để một điểm thuộc mặt cầu: Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu, nếu kết quả bằng 0 thì điểm đó thuộc mặt cầu.

4. Quan hệ tương giao giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng

Việc xác định quan hệ tương giao giữa các đối tượng hình học là một kỹ năng quan trọng. Để làm điều này, ta cần sử dụng các công cụ như vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và giải các hệ phương trình.

• Đường thẳng song song với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Hai mặt phẳng song song: Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương.
• Hai mặt phẳng vuông góc: Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0.

5. Bài tập minh họa

Để hiểu rõ hơn về các khái niệm và công thức trên, chúng ta hãy xem xét một số bài tập minh họa:

1. Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (1, -1, 2).
2. Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): x + y + z = 6.
3. Bài 3: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 2)² + (y + 1)² + (z - 3)² = 9.

Kết luận

Chương 5. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu là một chương học quan trọng trong Toán 12. Việc nắm vững các kiến thức và kỹ năng trong chương này sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán hình học không gian và đạt kết quả tốt trong kỳ thi THPT Quốc gia. Hãy luyện tập thường xuyên và tìm kiếm sự hỗ trợ từ các nguồn tài liệu học tập uy tín như giaibaitoan.com để đạt được hiệu quả tốt nhất.