Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 5 trang 55 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Tính góc (alpha ) trong mỗi trường hợp sau: a) (alpha ) là góc giữa hai vectơ (overrightarrow a = left( {1;1; - 1} right)) và (overrightarrow b = left( {5;2;7} right)); b) (alpha ) là góc giữa hai đường thẳng (d:left{ begin{array}{l}x = 1 + t\y = 2 - sqrt 3 t\z = 5end{array} right.) và (d':left{ begin{array}{l}x = 1 - sqrt 3 t'\y = 7 + t'\z = 9end{array} right.). c) (alpha ) là góc giữa hai mặt phẳng (left( P right):4x + 2y - z + 9 = 0) và (
Đề bài
Tính góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {5;2;7} \right)\);
b) \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - \sqrt 3 t\\z = 5\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 t'\\y = 7 + t'\\z = 9\end{array} \right.\).
c) \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):4x + 2y - z + 9 = 0\) và \(\left( Q \right):x + y + 6z - 11 = 0\);
d) \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{ }}x + y - z + 99 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).
‒ Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).
‒ Hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right),\)\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
a) \(\cos \alpha = \cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{1.5 + 1.2 + \left( { - 1} \right).7}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {2^2} + {7^2}} }} = 0\).
Vậy \(\alpha = {90^ \circ }\).
b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( { - \sqrt 3 ;1;0} \right)\).
Ta có: \(\cos \alpha = \cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - \sqrt 3 } \right) + \left( { - \sqrt 3 } \right).1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\alpha = {30^ \circ }\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'} = \left( {1;1;6} \right)\).
Ta có: \(\cos \alpha = \cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 2.1 + \left( { - 1} \right).6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {6^2}} }} = 0\).
Vậy \(\alpha = {90^ \circ }\).
d) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Ta có: \(\sin \alpha = \sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0\).
Vậy \(\alpha = {0^ \circ }\).
Bài 5 trang 55 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Bài tập 5 thường bao gồm các dạng bài sau:
Để giải bài 5 trang 55 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo, bạn cần thực hiện các bước sau:
Giả sử bài tập yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Giải:
Để học tốt môn Toán 12, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài 5 trang 55 sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!
