Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4 trong sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc tìm hiểu và vận dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ. Đây là một khái niệm quan trọng trong chương trình hình học lớp 10, giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ, và các tính chất hình học khác.

I. Khái niệm tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính bằng công thức:

a.b = |a||b|cos(θ)

Trong đó:

|a| và |b| là độ dài của vectơ a và b.
θ là góc giữa hai vectơ a và b.

II. Tính chất của tích vô hướng

a.b = b.a (Tính giao hoán)
a.(b + c) = a.b + a.c (Tính phân phối đối với phép cộng)
(ka).b = k(a.b) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
Nếu a vuông góc với b thì a.b = 0

III. Ứng dụng của tích vô hướng

Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và vật lý:

Tính góc giữa hai vectơ: cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)
Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Nếu a.b = 0 thì a vuông góc với b.
Tính hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác: Hình chiếu của a lên b là (a.b) / |b|.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (2; 3) và b = (-1; 4). Tính tích vô hướng của hai vectơ này.

Giải:

a.b = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10

Ví dụ 2: Cho hai vectơ a = (1; -1) và b = (2; 2). Tính góc giữa hai vectơ này.

Giải:

|a| = √(1² + (-1)²) = √2

|b| = √(2² + 2²) = √8 = 2√2

a.b = (1)(2) + (-1)(2) = 0

cos(θ) = 0 / (√2 * 2√2) = 0

θ = 90^o

V. Luyện tập

Để củng cố kiến thức về tích vô hướng, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho hai vectơ a = (3; -2) và b = (1; 5). Tính tích vô hướng của hai vectơ này.
Bài 2: Cho hai vectơ a = (-1; 2) và b = (4; -3). Tính góc giữa hai vectơ này.
Bài 3: Cho hai vectơ a = (2; 1) và b = (-1; 2). Xác định xem hai vectơ này có vuông góc với nhau hay không.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về tích vô hướng của hai vectơ và cách áp dụng nó trong giải toán. Chúc bạn học tập tốt!