Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 8 trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc thiết lập mối liên hệ giữa các phép toán vectơ và tọa độ của chúng trong không gian. Việc nắm vững nội dung này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Phép cộng vectơ:

Cho hai vectơ a = (x_a; y_a; z_a) và b = (x_b; y_b; z_b). Khi đó, vectơ tổng a + b được tính như sau:

a + b = (x_a + x_b; y_a + y_b; z_a + z_b)

2. Phép trừ vectơ:

Cho hai vectơ a = (x_a; y_a; z_a) và b = (x_b; y_b; z_b). Khi đó, vectơ hiệu a - b được tính như sau:

a - b = (x_a - x_b; y_a - y_b; z_a - z_b)

3. Phép nhân vectơ với một số:

Cho vectơ a = (x_a; y_a; z_a) và một số thực k. Khi đó, vectơ tích ka được tính như sau:

ka = (kx_a; ky_a; kz_a)

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và a - b.

Giải:

• a + b = (1 + (-2); 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)
• a - b = (1 - (-2); 2 - 1; 3 - 0) = (3; 1; 3)

Ví dụ 2: Cho a = (4; -1; 2) và k = 3. Tính ka.

Giải:

ka = (3 * 4; 3 * (-1); 3 * 2) = (12; -3; 6)

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho a = (2; -3; 1) và b = (1; 0; -2). Tính a + b và a - b.

Bài 2: Cho a = (-1; 2; 5) và k = -2. Tính ka.

Bài 3: Tìm tọa độ của vectơ c biết rằng a = (1; 1; 1), b = (2; -1; 3) và c = a + 2b.

IV. Mở rộng và liên hệ thực tế

Các phép toán vectơ và biểu thức tọa độ của chúng có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, đồ họa máy tính và các bài toán thực tế liên quan đến hướng và lực. Ví dụ, trong vật lý, việc cộng vectơ vận tốc giúp xác định vận tốc tổng hợp của một vật thể chịu tác động của nhiều lực khác nhau. Trong kỹ thuật, việc sử dụng tọa độ vectơ giúp tính toán các lực tác dụng lên các cấu trúc và đảm bảo tính ổn định của chúng.

Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo các kiến thức về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ là nền tảng quan trọng để học tốt các môn học liên quan đến toán học và các ngành khoa học kỹ thuật.