Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 1 trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu cùng với phương pháp giải bài tập một cách khoa học.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài toán Toán 12 và đạt kết quả cao trong học tập.
Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right)\).
a) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \).
b) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(2\overrightarrow a \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \), từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tính: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right) = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k \); \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right) = \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k \).
b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k + \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 14\overrightarrow k \). Do đó, \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2;3;14} \right)\)
\(2\overrightarrow a = 2\left( {\overrightarrow i + 5\overrightarrow k } \right) = 2\overrightarrow i + 10\overrightarrow k \). Do đó, \(2\overrightarrow a = \left( {2;0;10} \right)\)
Trả lời Câu hỏi trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Nếu tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ để tính: Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) thì \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là \( - \overrightarrow a \).
Tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là: \(\left( { - x; - y; - z} \right)\).
Trả lời Luyện tập 1 trang 68SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;8;6} \right),\overrightarrow v = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow w = \left( {0;5;4} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:
+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\);
+ \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {x - x';y - y';z - z'} \right)\);
+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w = \left( {1;8;6} \right) - 2\left( { - 1;3; - 2} \right) + \left( {0;5;4} \right) = \left( {1 + 2;8 - 6 + 5;6 + 4 + 4} \right) = \left( {3;7;14} \right)\)
Trả lời Hoạt động 2 trang 68SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hệ thức trung điểm của đoạn thẳng để tính: Nếu M là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\).
b) Sử dụng kiến thức về hệ thức trọng tâm của tam giác để tính: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\)
a) Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\).
Do đó, \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\). Do đó, \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right)\).
a) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \).
b) Biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(2\overrightarrow a \) qua các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \), từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tính: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {1;0;5} \right) = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k \); \(\overrightarrow b = \left( {1;3;9} \right) = \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k \).
b) Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow i + 5\overrightarrow k + \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 9\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 14\overrightarrow k \). Do đó, \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2;3;14} \right)\)
\(2\overrightarrow a = 2\left( {\overrightarrow i + 5\overrightarrow k } \right) = 2\overrightarrow i + 10\overrightarrow k \). Do đó, \(2\overrightarrow a = \left( {2;0;10} \right)\)
Trả lời Câu hỏi trang 67 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Nếu tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ để tính: Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) thì \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là \( - \overrightarrow a \).
Tọa độ của vectơ đối của \(\overrightarrow a \) là: \(\left( { - x; - y; - z} \right)\).
Trả lời Luyện tập 1 trang 68SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;8;6} \right),\overrightarrow v = \left( { - 1;3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow w = \left( {0;5;4} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\). Ta có:
+ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {x + x';y + y';z + z'} \right)\);
+ \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {x - x';y - y';z - z'} \right)\);
+ \(k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với k là một số thực.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow u - 2\overrightarrow v + \overrightarrow w = \left( {1;8;6} \right) - 2\left( { - 1;3; - 2} \right) + \left( {0;5;4} \right) = \left( {1 + 2;8 - 6 + 5;6 + 4 + 4} \right) = \left( {3;7;14} \right)\)
Trả lời Hoạt động 2 trang 68SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\).
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A và B và C.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hệ thức trung điểm của đoạn thẳng để tính: Nếu M là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\).
b) Sử dụng kiến thức về hệ thức trọng tâm của tam giác để tính: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\)
a) Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\).
Do đó, \(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\). Do đó, \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Trả lời Luyện tập 2 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;9; - 1} \right),B\left( {9;4;5} \right)\) và \(G\left( {3;0;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Khi đó, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Để G là trọng tâm của tam giác ABC thì
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.3 - 2 - 9 = - 2\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.0 - 9 - 4 = - 13\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.4 + 1 - 5 = 8\end{array} \right.\)
Vậy \(C\left( { - 2; - 13;8} \right)\)
Trả lời Luyện tập 2 trang 69SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;9; - 1} \right),B\left( {9;4;5} \right)\) và \(G\left( {3;0;4} \right)\). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Khi đó, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Để G là trọng tâm của tam giác ABC thì
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.3 - 2 - 9 = - 2\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.0 - 9 - 4 = - 13\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.4 + 1 - 5 = 8\end{array} \right.\)
Vậy \(C\left( { - 2; - 13;8} \right)\)
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập và mở rộng kiến thức về giới hạn. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn trong chương trình. Bài tập trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng các định nghĩa, tính chất của giới hạn để giải quyết các bài toán cụ thể.
Bài tập trong mục này bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập này, ta có thể phân tích tử thức thành nhân tử:
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4
Khi n tiến tới vô cùng, n^2 + 1 cũng tiến tới vô cùng. Do đó, phân số \frac{1}{n^2 + 1} tiến tới 0.
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 1} = 0
Giới hạn là một khái niệm quan trọng trong Toán học, được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
Để học tập và ôn luyện kiến thức về giới hạn, học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập mục 1 trang 67, 68 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn và có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các em học tập tốt!
