Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 1.40 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán, cung cấp các lời giải bài tập, kiến thức trọng tâm và các bài giảng chất lượng.
Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1); b) (y = {x^4} - 2{x^2} - 1); c) (y = frac{{2x - 1}}{{3x + 1}}); d) (y = frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}).
Đề bài
Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\);b) \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\);c) \(y = \frac{{2x - 1}}{{3x + 1}}\);d) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về cách tìm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) để tìm cực trị của hàm số:
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f’(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2},y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) đồng biến trên R.
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) không có cực trị.
b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4x,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) đạt cực đại tại \(x = 0\) và .
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) đạt cực tiểu tại \(x = \pm 1\) và \({y_{CT}} = - 2\).
c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{3}} \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{{2\left( {3x + 1} \right) - 3\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} > 0\;\forall x \ne \frac{{ - 1}}{3}\)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{3x + 1}}\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 1}}{3}; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
d) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Ta có: \(y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right)\).
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) đạt cực đại tại \(x = - 2\) và \({y_{CĐ}} = -2\).
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\) và \({y_{CT}} = 2\).
Bài tập 1.40 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến đạo hàm, bao gồm:
Bài tập 1.40 thường có dạng yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số tại một điểm hoặc trên một khoảng. Đôi khi, bài tập còn yêu cầu tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại một điểm. Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
(Giả sử bài tập 1.40 có nội dung cụ thể là: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1 tại x = 2)
Lời giải:
Ta có hàm số f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1.
Tính đạo hàm f'(x) bằng quy tắc đạo hàm của tổng và tích:
f'(x) = 3x^2 - 4x + 5
Thay x = 2 vào đạo hàm, ta được:
f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 5 = 12 - 8 + 5 = 9
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) tại x = 2 là 9.
Ngoài bài tập 1.40, còn rất nhiều bài tập tương tự về đạo hàm trong SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Để giải quyết các bài tập này, các em cần luyện tập thường xuyên và nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm. Một số dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Để học tốt môn Toán 12, đặc biệt là phần đạo hàm, các em nên:
Bài tập 1.40 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Giaibaitoan.com sẽ tiếp tục cập nhật các lời giải bài tập và kiến thức Toán 12 một cách nhanh chóng và chính xác. Hãy đồng hành cùng chúng tôi để chinh phục môn Toán!
