Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Xác suất có điều kiện trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Đây là một phần kiến thức quan trọng, giúp bạn hiểu rõ hơn về các ứng dụng của xác suất trong thực tế.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản nhất về xác suất có điều kiện, bao gồm định nghĩa, công thức và các ví dụ minh họa.
1. Xác suất có điều kiện
1. Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B) Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó: \(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}}\) |
Ví dụ 1: Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó.
Gọi A là biến cố: “ An lấy được viên bi trắng”; B là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”.
Tính P(A|B).
Giải:
Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó \(n(\Omega ) = 30.29\).
Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.
Do đó n(B) = 20.29 và \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}}\).
Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.
Do đó n(AB) = 20.19 và \(P(AB) = \frac{{n(AB)}}{{n(\Omega )}}\).
Vậy \(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{n(AB)}}{{n(B)}} = \frac{{20.19}}{{20.29}} = \frac{{19}}{{29}}\).
2. Công thức nhân xác suất
Với hai biến cố A và B bất kì, ta có: \(P(AB) = P(B).P(A|B)\) |
Ví dụ 2: Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc còn lại. Tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh.
Giải:
Gọi A là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi đen”;
B là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi xanh”.
Ta cần tìm P(AB).
Vì n(A) = 5 nên P(A) = \(\frac{5}{{12}}\).
Nếu A xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi đen thì trong hộp có 11 bút bi với 7 bút bi xanh.
Vậy P(B|A) = \(\frac{7}{{11}}\).
Theo công thức nhân xác suất: \(P(AB) = P(A).P(B|A) = \frac{5}{{12}}.\frac{7}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}\).
Xác suất có điều kiện là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần lý thuyết này đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán thực tế và nâng cao khả năng tư duy logic.
Giả sử A và B là hai biến cố. Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa là:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), với P(B) > 0
Trong đó:
a. Công thức Xác suất đầy đủ:
Nếu B1, B2, ..., Bn là một hệ đầy đủ các biến cố (tức là chúng đôi một xung khắc và hợp của chúng bằng không gian mẫu Ω), thì xác suất của biến cố A được tính bằng:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)
b. Công thức Bayes:
Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác. Công thức được biểu diễn như sau:
P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A)
Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ, biết rằng quả bóng thứ nhất rút ra là màu đỏ.
Giải:
Gọi A là biến cố “cả hai quả bóng đều màu đỏ” và B là biến cố “quả bóng thứ nhất rút ra là màu đỏ”. Ta cần tính P(A|B).
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
P(B) = 5/8 (xác suất quả bóng thứ nhất màu đỏ)
P(A ∩ B) = (5/8) * (4/7) (xác suất cả hai quả đều đỏ)
P(A|B) = [(5/8) * (4/7)] / (5/8) = 4/7
Ví dụ 2: Một nhà máy có ba công nhân A, B, C. Xác suất để công nhân A làm ra sản phẩm loại I là 0.2, của B là 0.3, của C là 0.4. Chọn ngẫu nhiên một công nhân và người đó làm ra sản phẩm loại I. Hỏi xác suất để người đó là công nhân A?
Giải:
Gọi A là biến cố “chọn công nhân A”, B là biến cố “chọn công nhân B”, C là biến cố “chọn công nhân C”, và I là biến cố “làm ra sản phẩm loại I”. Ta cần tính P(A|I).
P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
P(I|A) = 0.2, P(I|B) = 0.3, P(I|C) = 0.4
P(I) = P(I|A)P(A) + P(I|B)P(B) + P(I|C)P(C) = (0.2 * 1/3) + (0.3 * 1/3) + (0.4 * 1/3) = 0.3
P(A|I) = [P(I|A)P(A)] / P(I) = (0.2 * 1/3) / 0.3 = 2/9
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Xác suất có điều kiện trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
